Математические головоломки

Во-вторых (и это самое главное), сама Луна не является неподвижной целью, и если мы хотим знать, как будет двигаться по отношению к ней ракета (не будет ли она на нее «падать»), то нужно учесть скорость ракеты относительно Луны. А эта скорость вовсе не равна нулю, так как сама Луна движется вокруг Земли со скоростью 1 км/с. Поэтому скорость движения ракеты относительно Луны слишком велика для того, чтобы Луна могла притянуть к себе ракету или хотя бы удержать ее в своей сфере притяжения в качестве искусственного спутника.

Фактически притяжение Луны начинает оказывать существенное влияние на движение ракеты еще до того, как ракета приблизится к сфере притяжения Луны. В небесной баллистике принято учитывать притяжение Луны с момента, когда ракета окажется внутри так называемой сферы действия Луны радиусом 66 000 км. При этом уже можно рассматривать движение ракеты относительно Луны, полностью забывая о земном притяжении, но точно учитывая ту скорость (относительно Луны), с какой ракета входит в сферу действия. Естественно поэтому, что ракету приходится посылать к Луне по такой траектории, чтобы скорость (относительно Луны) входа в сферу действия была направлена прямо на Луну. Для этого сфера действия Луны должна набегать на ракету, движущуюся ей наперерез. Как видим, попадание в Луну оказывается вовсе не столь простым делом, как попадание в шар диаметром 84 000 км.

«Трудная задача»

Картина Богданова-Бельского «Трудная задача» (рис. 12) известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления:

Задача в самом деле нелегкая. С нею, однако, хорошо справлялись ученики того учителя, который с сохранением портретного сходства изображен на картине, именно С. А. Рачинского, профессора естественных наук, покинувшего университетскую кафедру, чтобы сделаться рядовым учителем сельской школы. Талантливый педагог культивировал в своей школе устный счет, основанный на виртуозном использовании свойств чисел. Числа 10, 11, 12, 13 и 14 обладают любопытной особенностью: 10² + 11² + 12² = 13² + 14².

Рис. 12

Так как 100 + 121 + 144 = 365, то легко рассчитать в уме, что воспроизведенное на картине выражение равно 2.

Алгебра дает нам средство поставить вопрос об этой интересной особенности ряда чисел более широко: единственный ли это ряд из пяти последовательных чисел, сумма квадратов первых трех из которых равна сумме квадратов двух последних?

РЕШЕНИЕ

Обозначив первое из искомых чисел через х, имеем уравнение

x² + (х + 1)² + (

x + 2)² = (х + 3)² + (x + 4)².

Удобнее, однако, обозначить через x не первое, а второе из искомых чисел. Тогда уравнение будет иметь более простой вид

(х – 1)² + x² + (x + 1)² = (х + 2)² + (x + 3)².

Раскрыв скобки и сделав упрощения, получаем:

x²

– 10x – 11 = 0.

откуда

Существуют, следовательно, два ряда чисел, обладающих требуемым свойством: ряд Рачинского

10, 11, 12, 13, 14

и ряд

– 2, –1, 0, 1, 2.

В самом деле,

(–2)² + (–1)² + 0² = 1² + 2².

Какие числа?

ЗАДАЧА

Найти три последовательных числа, отличающихся тем свойством, что квадрат среднего на 1 больше произведения двух остальных.

РЕШЕНИЕ

Если первое из искомых чисел х, то уравнение имеет вид

(х + 1)² = х(х + 2) + 1.

Раскрыв скобки, получаем равенство

x² + 2x + 1 = x² + 2x + 1,

из которого нельзя определить величину х. Это показывает, что составленное нами равенство есть тождество; оно справедливо при любом значении входящей в него буквы, а не при некоторых лишь, как в случае уравнения. Значит, всякие три последовательных числа обладают требуемым свойством. В самом деле, возьмем наугад числа

17, 18, 19.

Мы убеждаемся, что

18² – 17 · 19 = 324–323 = 1.

Необходимость такого соотношения выступает нагляднее, если обозначить через х второе число. Тогда получим равенство

x² – 1 = (x + 1) (x – 1),

т. е. очевидное тождество.

Глава седьмая.

НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ

Помещаемые в этой главе задачи принадлежат к весьма интересному роду задач на разыскание наибольшего или наименьшего значения некоторой величины. Они могут быть решены различными приемами, один из которых мы сейчас покажем.

Русский математик П. Л. Чебышев в своей работе «Черчение географических карт» писал, что особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды.

Два поезда

ЗАДАЧА

Два железнодорожных пути скрещиваются под прямым углом. К месту скрещения одновременно мчатся по этим путям два поезда: один со станции, находящейся в 40 км от скрещения, другой со станции в 50 км от того же места скрещения. Первый делает в минуту 800 м, второй – 600 м.

Через сколько минут, считая с момента отправления, паровозы были в наименьшем взаимном расстоянии? И как велико это расстояние?

РЕШЕНИЕ

Рис. 13

Рис. 14