Математические игры с дурацкими рисунками: 75¼ простых, но требующих сообразительности игр, в которые можно играть где угодно

Любое пророчество здесь опровергает само себя. Эту таблицу невозможно заполнить.

А что, если добавить второй столбец? Ничего не выйдет. Любая попытка заполнить его обречена на провал, как попытка изречь пророчество «Никто никогда не изречет это пророчество».

Сколько же нужно столбцов, чтобы заполнить такую таблицу? Как минимум четыре. Вот одно из возможных решений, а второе попробуйте найти самостоятельно[49].

Всякий раз, когда я играю в «Пророчества», мой разум попадает в подобные рекурсивные циклы. Будет ли мое следующее предсказание опровергать само себя? Только что числа казались незыблемыми и правдивыми, и вот они рассеиваются как сон, как утренний туман. В результате получается игра с ошеломляющей стратегической глубиной.

ГЕНЕАЛОГИЯ ИГРЫ

Игру придумал симпатяга по имени Энди Джуэлл.

В 2010 году Дэниел Солис запустил проект «Лучшая игра тысячелетия». Задача состояла в том, чтобы придумать простую, глубокую игру, в которую будут играть на протяжении тысячи лет. Тогда Энди Джуэлл и представил на суд публики игру «Пророчества» (вариацию его настольной игры «Размер имеет значение»).

Наступил 2020 год. «Пророчества» стали одной из любимых игр моих тестировщиков, а сам Энди, с которым я вступил в переписку по электронной почте, оказался остроумным, скромным и чрезвычайно полезным знатоком стратегических игр[50].

Будут ли играть в «Пророчества» целое тысячелетие? А почему бы и нет? На самом деле вам не нужны ни бумага, ни карандаши, ни даже цифры. Можно просто чертить какие-нибудь закорючки на земле. «Если наши потомки разучатся считать, – заметил Энди, – невозможность сыграть в эту игру, по моему скромному мнению, будет наименьшей из их бесчисленных проблем».

ПОЧЕМУ ЭТА ИГРА ВАЖНА?

Потому что игра с парадоксальными числами, описывающими себя, помогла вступить в компьютерную эру.

Эта история начинается в конце XIX века, когда математики взялись за грандиозную задачу: найти логические основы своей науки. Они надеялись выстроить своего рода непоколебимую башню, каждый ярус которой опирается на предыдущий, вплоть до нерушимого фундамента, то есть набора простых постулатов, из которых вытекают все математические теоремы.

Естественно, решающим шагом был выбор подходящих постулатов.

Типичный путь – начать с пустого множества, абстрактного мешка, внутри которого ничего нет. Таким образом, у вас появляется ноль, и можно продолжать. Множество, содержащее пустое множество, – это единица. Множество, содержащее единицу и пустое множество, – это двойка. Множество, содержащее единицу, двойку и пустое множество, – это тройка. И так далее.

Продолжайте в том же духе, выстраивая все более сложные логические структуры множеств-множеств-множеств, пока не охватите все возможные числа, фигуры и уравнения.

И получится, что вся математика зиждется на нескольких простых постулатах о множествах.

Увы, на протяжении десятилетий эти попытки не приносили успеха. Все время накапливались парадоксы, заставлявшие математиков менять основополагающие постулаты. Однако новые постулаты приводили к новым парадоксам или не годились для создания фундамента для математической башни.

Наконец, в 1930 году логик по имени Курт Гёдель показал, где корень всех зол. Проект поиска незыблемых оснований в принципе был несбыточной мечтой.

Его аргументация выглядит примерно так. Для начала выберите любой набор аксиом для арифметики в качестве фундамента математической башни. Затем Курт показывает, что эти аксиомы создают своего рода язык, который позволяет закодировать утверждения (например, «0 равен 0») в виде чисел (например, 243 000 000). Наконец, Курт предъявляет утверждения, ссылающиеся на свой собственный номер и говорящие, что «невозможно доказать истинность утверждения с этим номером».

Короче говоря, порочный круг.

Действительно, невозможно доказать истинность утверждения «невозможно доказать истинность утверждения», потому что в таком случае оно оказалось бы ложным. А если мы докажем, что оно ложно, оно, без тени сомнения, окажется истинным!

Невозможно доказать ни истинность, ни ложность. Такие утверждения относятся к жуткой категории, которую Курт окрестил «неразрешимые утверждения».

Ученые надеялись найти фундамент математики. Курт заложил бомбу под эту надежду. Независимо от того, какие постулаты вы выбираете, всегда найдутся утверждения, которые вы не сможете ни доказать, ни опровергнуть, высоты, недостижимые для вашей башни.

Самый амбициозный математический проект столетия был обречен на неудачу, и всё из-за автореферентных чисел.

После того как бомба Курта взорвалась, математики попытались спасти хотя бы что-нибудь из-под обломков. Алан Тьюринг задумался над созданием машины, которая помогает классифицировать утверждения на истинные, ложные и неразрешимые, – своего рода математический детектор лжи.

Или, как мы говорим сейчас, компьютера.