Математические игры с дурацкими рисунками: 75¼ простых, но требующих сообразительности игр, в которые можно играть где угодно

Например, потребуется минимум девять монет, чтобы набрать 99¢: три четвертака, два десятицентовика и четыре одноцентовых монеты. (Собрать доллар мелочью проще: понадобится всего четыре монеты по 25¢.) Головоломка: для составления какой суммы меньше 99¢ требуется больше всего монет и сколько должно быть этих монет?[45]

Другие головоломки с монетами напрямую связаны с системой выбора номиналов. В США требуется в общей сложности 470 монет, чтобы оптимальным образом набрать все суммы от 1¢ до 99¢: одна монета, если вам нужен 1¢, две монеты, чтобы набрать 2¢… и так далее, вплоть до девяти монет для 99¢. Можно ли уменьшить это число, изменив номиналы монет, то есть отказавшись от системы цент-никель-дайм-квотер в пользу другого набора из четырех монет?

Оказывается можно. Если заменить пятицентовик на трехцентовик (назовем его «трикель»), то потребуется на 50 монет меньше. Некоторые необычные комбинации еще лучше (например, 1¢, 4¢, 11¢ и 39¢). Тем не менее я благодарен казначейству США, что оно отказалось от этих вариантов, иначе каждая покупка шоколадного батончика приводила бы к остановке мировой экономики.

Хорошая задача для умелого программиста: какой набор четырех номиналов сводит к минимуму количество монет, требующихся для набора всех сумм от 1¢ до 99¢?

ПОЧЕМУ ЭТА ИГРА ВАЖНА?

Потому что она лежит в основе цивилизации.

Я не хочу переоценивать значение данной игры. Вы можете забыть о «Мелочёвке» и, если повезет, сохранить жизнеспособное общество. Но, по-моему, «Мелочёвка» вдыхает новую жизнь в математические концепции, делающие возможными нашу экономику.

Вначале появились примитивные единицы обмена. Древние цивилизации по всему миру оценивали свое имущество (овец, коз, кольца от Картье) в простых глиняных жетонах. Один жетон – одна овца. Два жетона – две овцы. Три жетона – три овцы. Четыре жетона… и вы засыпаете. Да, считать овец опасно.

Возможно, цивилизация впервые осознала, что такое числа, когда выстроила эту систему взаимно однозначного соответствия единиц обмена и товаров.

Дальше появились более сложные единицы. Древние общества в Китае и Мезоамерике довольствовались простыми жетонами, а вот шумерам пришла в голову новая идея: один жетон стал означать несколько овец. Так возникли пятицентовики, десятицентовики и четвертаки животноводческой экономики.

Потом произошел переход к абстракциям. Раньше не существовало оторванного от осязаемых вещей числа шесть. Числа означали исключительно определенные количества предметов: семь овец, семь колец от Картье, семь коз за одно кольцо от Картье. Число семь было неотделимо от материального мира.

Но со временем «три овцы» стали обозначаться двумя символами, как и «три козы». Символ для числа «три» был общим. Так родилась математика: возникло абстрактное понятие «числа».

Не три овцы. Не три козы. Не три штуковины. А просто «три».

И еще один решающий поворот истории происхождения чисел: шумеры стали класть свои жетоны в глиняные «конверты», а затем вычерчивать символы на влажной глине, чтобы обозначить содержимое. Археолог Дениз Шмандт-Бессера утверждает: так родилась не только шумерская математика, но и шумерская письменность, что не менее существенно. Нашей грамотностью мы обязаны в немалой степени учету овец[46].

Естественно, я упрощаю. Это не единственный путь появления письменности. Кроме того, глиняные жетоны не были валютой в нашем понимании, потому что использовались не для обмена. Они больше походили на бухгалтерские книги или банковские счета: не на монеты, а на записи о праве собственности.

Тем не менее каждое богатое общество сегодня должно снимать шляпу перед этими жетонами. Или хотя бы перед медяками в копилке.

ВАРИАЦИИ И РОДСТВЕННЫЕ ИГРЫ

Другие наборы монет. Попробуйте эти альтернативы (предложенные Джеймсом Эрнестом, создателем игры).

Или используйте эти номиналы монет, существующие в реальных национальных валютах:

Естественно, вы можете использовать собственные комбинации монет. Однако убедитесь, что у всех игроков в начале одинаковый набор дензнаков.

Новые правила размена. Эти две интересные вариации придумал Джо Кисенветер.

1. Идеальная сдача. Вы можете забрать любую комбинацию более мелких монет, стоимость которых меньше или равна той монете, которую вы положили. Например, если вы положили десятицентовик, то можете забрать две пятицентовых монеты (но не десятицентовик).

2. Более чем идеальная сдача. Вы можете забрать все монеты меньшего номинала, чем та, что вы положили на стол, даже если их общая стоимость выше. Например, если вы положили десятицентовик, можете забрать три пятицентовые монеты и пять одноцентовых.

Вот вам хорошая головоломка от Джо: могут ли эти варианты привести к бесконечной игре? Если нет, то каково максимальное количество ходов?