Математика для гуманитариев: живые лекции

Какие простые числа представляются в виде суммы двух ква­дратов? Эта задача чрезвычайно важная в теории кодирования. (Здесь под словом «кодирование» понимается запись информа­ции в таком виде, чтобы ее не смогли прочесть посторонние ли­ца. А «посторонние лица» обычно очень интересуются методами «взлома» использованного кода.) Человек, который что-то знает про кодирование/декодирование, может взять и разрушить систе­му Пентагона в два щелчка мыши (вот вам и готов международный конфликт).

Вопросы математического кодирования — это вопросы пример­но такого же типа, как и задача о разложении простого числа в сумму двух квадратов. И вот долгожданный ответ на поставлен­ный выше вопрос.

Теорема. (Ферма — Эйлер — Гаусс. Гаусс здесь упомянут по­тому, что он ввел Гауссовы числа и установил простым образом все три эквивалентности, приводимые в формулировке.)

«Обычное» простое число (не комплексное) р является суммой двух квадратов, то есть р = х² + у² (х и у — обычные целые числа), тогда и только тогда, когда р перестает быть простым в гауссовой системе чисел Z[i]. И происходит это тогда и толь­ко тогда, когда либо р = 2,

либо число «р» имеет, остаток 1 при делении на 4, то есть р = 4fc + 1.

У Гаусса несколько «царских результатов». Он называл их раз­ными именами. Например, есть некий закон про поведение остат­ков при делении одних чисел на другие. Гаусс назвал его «золотым результатом», «золотой результат Гаусса». Связь между предста­вимостью простого числа р в виде суммы двух квадратов и его «поведением» в системе Гауссовых целых чисел — это королевская теорема Гаусса. Как следствие, «сокращая одну из эквивалентно­стей» в теореме выше, получаем как раз теорему Ферма — Эйле­ра: Простое число в обычных натуральных числах явля­ется суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда оно имеет остаток 1 при делении на 4. Это мгновенно вы­числяемая характеристика. Например, 97. При делении на 4 дает остаток 1: 97 = 96 + 1 = 4 · 24 + 1. Значит, по нашей теореме оно должно представляться в виде суммы двух квадратов. Так и есть: 97 = 81 + 16 = 9² + 4².

Возьмите число, в котором 25 цифр. Проверьте, что оно имеет остаток 1 при делении на 4, это очень просто. Проверить, что оно простое, немножко сложнее, но тоже не очень долго. Так вот, если вы узнали, что оно простое, и вычислили, что оно имеет остаток 1 при делении на 4, то вы можете спорить на любую сумму с любым неверующим Фомой, что есть два числа, суммой квадратов кото­рых исходное число является. Никакого полного доказательства этой теоремы, кроме как через гауссовы числа, мне не известно (существует, говорят, по крайней мере 6 доказательств).

Давайте вернемся к пифагоровым тройкам. Пифагоровы тройки очень красиво находятся с помощью гауссовых чисел. Предполо­жим, есть тройка ж, у, z обычных целых чисел, которые являются сторонами прямоугольного треугольника, то есть

2,2 2 Ж + у = Z .

Опять рассмотрим прямоугольный треугольник, наименьший в се­мействе. Иными словами, ж, у, г попарно взаимно просты, у них нет общих делителей. Тогда довольно просто показать, что (ж + уг) и (ж—yi) — также взаимно просты (это следует из разной четности ж и у).

То есть у гауссова числа и сопряженного ему гауссова числа нет общих делителей.

Вспоминаем прошлую лекцию: (х + уг)(х — уг) = z².

Произведение равно квадрату некоторого числа. Значит, все (Гауссовы) простые множители числа г входят в него в четной степени. Это означает, что в левой части уравнения стоит, с точ­ностью до обратимых множителей, произведение двух квадратов.

Этот прием применяется во всех похожих структурах, не только в гауссовых числах. Если мы можем доказать основную теорему арифметики, то будет верен и этот замечательный результат: если произведение двух взаимно простых чисел равно квадрату, то ка­ждое из этих чисел является квадратом с точностью до умноже­ния на обратимые числа 1. /. — 1 и —i (для гауссовых чисел) или до умножения на любые другие обратимые числа (если целые чи­сла — не гауссовы).

Заметая «под ковер» исследование дополнительных обратимых множителей, делаем вывод, что

(х + yi) = (т + га)² = т² + 2 mni — п² = (т² — п²

) + 2 mni.

Комплексные числа равны в том и только том случае, когда их вещественные и мнимые части равны:

х = т² — п², у = 2 тп.

Отсюда уже нетрудно вывести и формулу для гипотенузы Пифа­горова треугольника: г = т² + п².

Вот мы и получили «формулу индусов». Через гауссовы числа она выводится почти в одну строчку.