Математика для гуманитариев: живые лекции

Теперь — пара слов про великую теорему Ферма. Такие ме­тоды, как тот, который мы сейчас рассматривали, развивавшие­ся весь XIX век, не привели к решению великой теоремы Ферма для всех показателей. Привело совершенно другое соображение. Соображение такое: если бы существовала тройка а, Ь, с такая, что а^п + Ъ^п = с”, то существовала бы некоторая, как математики выражаются, эллиптическая кривая с набором свойств, которые противоречат ее природе. Это — доказательство великой теоремы Ферма в одной фразе. Правда, к этой «одной фразе» придется до­бавить фраз 20-30, чтобы хоть слегка пояснить, что это за зверь такой — эллиптическая кривая, и, главное, какое отношение она имеет к великой теореме Ферма.

Ну и последний сюжет.

Диофант решал самые разные уравнения. Некоторые он сфор­мулировал, но был не способен решить. А точнее, решения некото­рых из них не найдены в первых 6 томах. Мы ничего не знаем про оставшиеся 7 томов, и я не удивлюсь, если в них было всё, что по­том открывали в XVII, XVIII, XIX веках. В частности, Эйлер стал рассматривать одно из тех уравнений, которые Диофант не решил. Может, ли быть так, что квадрат некоторого натурального чи­сла отличается от куба другого натурального числа на единицу? То есть требуется решить в целых числах уравнение

а² = Ь³ ± 1.

То, что квадрат одного числа просто равен кубу другого, очень легко представить себе, если а = с³ и b = с², при некотором целом с. В самом деле, тогда

а² = (с³)² = _С6 = (с²)³ = Ь³

.

Возьмем, например, с = 3. Тогда а, = 27, b = 9: 27² = 9³ = 729. Так что эта задача неинтересная. Правда, число 729 напоминает мне один разговор.

Однажды два математика беседовали в кафе. Один другому го­ворит: «На свете нет ни одного числа, которое не было бы чем-то удивительным, просто ни одного». А второй отвечает: «Ну, как же? Ну, я возьму навскидку 1729. Что интересного в числе 1729?» А второй посмотрел на него и сказал: «Ты сам не догадываешь­ся, насколько удивительное число ты назвал! Это первое из нату­ральных чисел, которое двумя разными способами представляется в виде суммы двух кубов».

Пальцем в небо ткнул и попал в число 1729. И вот что оказа­лось. Действительно, 1729 = 9³ + 10³, и 1729 = 12³ + I³. Второй математик был сражен этим аргументом.

Так вот, бывает ли, чтобы куб и квадрат отличались на единич­ку?

Допустим, ваш ребенок играет в кубики. Он сложил из них боль­шой куб, а вы украли у него один кубик. Тогда ребенок взял, раз­валил куб и сложил большой огромный квадрат. Может ли такое быть? Эйлер полностью решил эту задачу (а² = Ь³ ± 1).

Решим только одно уравнение из двух, потому что другое очень сложное: а² = Ь³ + 1 — сложное, а² = Ь³ — 1 простое.

В обоих случаях можно выписать ответ в явном виде.

У второго уравнения решений нет, кроме тривиальных: а = О и b

= 1. Мы это сейчас докажем. А у первого, кроме тривиальных (а = 1 и b = 0), решением является пара (2,3). Ведь З² = 2³ + 1. Других решений нет. Эйлер и это доказал, но весьма сложным путем.

Разберем простой вариант:

а² = Ь³ — 1, а² + 1 = Ь³, (а + i)(a — i) = Ь³.

Могут ли у (а +

i) и (а — г) быть общие множители? Пусть (а + i) и (а — г) делятся на какое-то простое гауссово число. Тогда их разность

(а + г) — (а — i) = а + г — а + г = 2г

тоже на него делится.

Простых гауссовых чисел, которые делят число 2i, всего одно: (1 + г). Есть еще 1 — г, но это «то же самое простое число», ибо 1 — г = (—г)(1 + г) — то есть, одно получается из другого умноже­нием на обратимое.

Значит, наши числа (a + i) и (a — i), если они не взаимно просты, могут делиться только на (1+г). Но тогда их произведение делится на (1+*)² = 2г. Значит, Ь делится на 2, а Ь³ — на 8. Но тогда а² будет иметь остаток 7 при делении на 8, так как а² + 1 = Ь³. А значит, остаток 3 при делении на 4. А, как мы выяснили на предыдущей лекции, таких квадратов не существует. При делении на 4 квадрат дает в остатке либо 1, либо 0. Поэтому такого быть не может.

Значит, ни одного общего делителя у чисел (а

+ i) и (а — i) нет. Их произведение является поэтому кубом некоторого гауссова числа. Согласно основной теореме арифметики, из этого следует, что каждое из них само является кубом гауссова числа (снова с точностью до умножения на обратимый элемент 1, i, —1 или i). Но все они тоже кубы, так что сформулированное утверждение верно в точности: скажем, а + г = (т + га)³.

Вдумайтесь, что мы сделали. Мы взяли обычное уравнение в це­лых числах. Зачем-то перешли в гауссовы числа и внутри гаус­совых чисел разложили левую часть на множители. После чего, живя внутри гауссовых чисел, мы сказали, что тогда

а + i = (т + га)³.

При этом а — целое не гауссово число. Гауссово число (а + i) живет на один шаг выше оси х.

Это число должно быть равно кубу некоторого гауссова числа. Теперь вспомним формулу куба суммы и раскроем скобки:

о о о 0 4