Математика для гуманитариев: живые лекции

Он к целым числам прибавил число i и спросил себя: а какие тогда должны быть числа еще взяты? Если мы взяли i и взяли 1, то мы должны, конечно, взять их сумму 1 + i. Потому что мы должны уметь складывать, вычитать и умножать (если хотим действовать по правилам обычных целых чисел). Ясно, что эти требования нас в конце концов приведут ко взятию произвольных целых кратных числа сложенных с любыми целыми (обычными) числами.

Числа вида а + Ы, где а, b — целые числа, называют гауссовыми числами. Складывать и вычитать их можно «покомпонентно», то есть (а + Ы) ± (с + di)

= (а ± с) + (Ь ± d)i. При этом «на выходе» получаются снова Гауссовы числа, потому что сумма и разность целых чисел всегда являются целыми числами.

Но для полноценной работы с новыми числами нужно уметь их друг на друга умножать. Чудо состоит в том, что при перем­ножении Гауссовых чисел по обычным правилам перемножения комплексных чисел «на выходе» снова получаются Гауссовы, то есть целые комплексные числа. Читателю книги доставит удоволь­ствие самостоятельно перемножить два Гауссовых числа, чтобы увидеть, что целочисленность вещественной и мниной частей ре­зультата умножения сохраняется.

Кроме того, новые числа удовлетворяют всем тем же принци­пам умножения, вычитания и сложения, которые верны для обыч­ных целых чисел (потому что новые числа — это «подмножество» комплексных чисел, а последние этим правилам подчиняются).

В то же время из-за того, что мы акцентируем внимание на их «цельности», то есть целочисленности, у нас появляются нетриви­альные моменты, связанные с их делимостью друг на друга (анало­гично тому, как в системе обычных целых чисел разрабатывается теория делимости, теория простых чисел и разложение на простые множители).

В частности, можно определить понятие простого гауссова чи­сла.

Так вот, оказывается, что всё, что мы знаем про целые числа — делимость, простота, основная теорема арифметики — удивитель­ным образом переносится на '/■{']■ то есть на систему Гауссовых чисел. Любое Гауссово а + Ы

с целыми а и Ъ единственным обра­зом раскладывается в произведение простых чисел, которые уже ни на что не делятся.

Небольшое замечание: на числа 1, г, —1 и —г делятся все Гауссо­вы числа, так же, как в целых числах на прямой все числа делятся на 1 и — 1. Например, (а + Ы) : % = b — ai. Это чуть-чуть услож- пяет ситуацию, потому что однозначность разложения на простые множители выполняется лишь с точностью до умножения и деле­ния на 1л’, —1 и —Потому что с точки зрения теории делимости (а + Ы)

и {Ь — ai) это один и тот же простой множитель.

Для целых чисел на комплексной плоскости вообще появляет­ся много фокусов, которых не было для целых чисел на прямой. Например, число 2 перестало быть простым. Ибо оно раскладыва­ется на множители 2 = (1-И’)(1—*). Кстати, из геометрии это тоже следует (рис. 155).

Рис. 155. Вот чудоса-то: сумма чисел (1 + г) и (1 — г) равна их произве­дению! Но обычное число 2 похитрее будет: 2 + 2 = 2- 2 = 2².

По правилу умножения мы должны взять произведение двух длин. Длина вектора 1 + i

равна длине вектора 1 — и обе равны \/2. так как это гипотенуза прямоугольного треугольника с еди­ничными катетами. Значит, у произведения должна быть длина у/2 · у/2 = 2.

Посмотрим, что произойдет с углами. При умножении углы складываются. Но они у нас противоположные по знаку, значит, при сложении получится 0. То есть при умножении мы получим вектор длины 2, направленный по оси X. Обратите внимание, что мы невзначай нашли одно из решений уравнения в комплексных числах: г + w = zw (подпись к рис. 155).

Какие еще числа перестают быть простыми? Например, число 5. Теперь 5 = (2 + *)(2 — *) = 2² + Г². А число 3 можно разложить на множители или нет? Есть ли тут какое-то общее правило?

Оказывается, есть. Более того, ответ на заданный вопрос тес­нейшим образом связан с вопросом про «обычные» целые числа.

а именно: какие простые числа можно представить в виде суммы двух полных квадратов — то есть двух чисел, из которых можно нацело извлечь квадратный корень? Потрясающим образом этот вопрос решается введением Гауссовых чисел и изучением их ариф­метики.

Окинем еще раз взглядом наши построения. Мы ввели ком­плексные числа. Потом в них выделили семейство «целочислен­ных» комплексных чисел и назвали их гауссовыми. Там развили делимость, научились делить с остатком, обнаружили «Основную теорему арифметики». Зачем? Ответ таков: некоторые вопросы из арифметики обычных целых чисел можно решить только че­рез гауссовы числа.