Математика и искусство

Приложение начертательной геометрии к технике выдвинуло требование "обратимости" чертежа, т. е. возможности точного определения пространственной фигуры по плоскому чертежу, или, говоря языком математики, взаимно однозначности отображения пространства на плоскость. Рассмотренные проекции являются однозначными, но не взаимно однозначными отображениями, т. е. каждой точке пространства соответствует единственная точка плоскости, но не наоборот. Нетрудно убедиться и в том, что для определения положения точки в пространстве по ее чертежу необходимо иметь две проекции точки, полученные из двух центров или при двух направлениях проектирования. Эта гениально простая мысль и составляет основу начертательной геометрии, заложенную выдающимся французским математиком, активным деятелем Великой французской революции, другом и советником Наполеона Гаспаром Монжем (1746-1818).

Суть метода Монжа можно изложить двумя предложениями, как это сделал член-корреспондент АН СССР Б. Н. Делоне: "Пространственный объект проектируется ортогонально (т. е. перпендикулярами) на плоскость и также проектируется на некоторую другую ей перпендикулярную плоскость, и затем одна из этих плоскостей поворачивается вокруг прямой пересечения этих плоскостей, пока не совместится с другой. В результате на одной и той же плоскости оказываются две различные проекции (вида) рассматриваемого объекта, по которым уже можно, методами Монжа, восстановить размеры, углы и т. д., имеющиеся у данного пространственного объекта в натуре."

Несмотря на то что ортогональные проекции известны человечеству с незапамятных времен (вся живопись Древнего Египта есть не что иное, как ортогональные проекции на плоскость рисунка), простая мысль использовать две ортогональные проекции для получения взаимно однозначного отображения пространства на плоскость пришла Монжу лишь в конце XVIII века. Имея огромное практическое значение в теории фортификации, метод Монжа еще в течение 15 лет оберегался как военная тайна. Простота метода Монжа ошеломила современников. Познакомившись с его идеями, Лагранж, перемежая иронию с восторгом, воскликнул: "До слушания лекции Монжа я не знал, что мне известна начертательная геометрия!"

На рисунке показаны различные типы проекции одного и того же прямоугольного параллелепипеда с отношением сторон 1:2:3. Метод ортогональных проекций Монжа иллюстрирует рисунок а. Заметим, что третья проекция с точки зрения математики является лишней, но ею часто пользуются, чтобы создать более полное представление о пространственном теле. Как отмечалось, при ортогональном проектировании сохраняются истинные размеры контуров тела.

Однако ортогональные проекции не дают целостного впечатления о форме пространственного объекта. Более наглядное представление о форме тела дают аксонометрические проекции[33] — частный вид параллельных проекций, отображающих на плоскость К все точки пространственного объекта вместе с декартовой системой координат, к которой этот объект отнесен. На рисунке б построена аксонометрическая проекция нашего параллелепипеда. Мы видим, что в аксонометрии происходят искажения линейных размеров, различные по разным осям. Согласно основной теореме аксонометрии — теореме Польке, три произвольных отрезка на плоскости, выходящие из одной точки, могут быть приняты за параллельную проекцию трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков, выходящих из некоторой точки пространства, Следовательно, аксонометрические оси и коэффициенты искажения по ним (отношение длины по аксонометрической оси к истинной длине по соответствующей оси) могут быть выбраны произвольно. (В нашей аксонометрии углы между осями равны 120°, а коэффициенты искажения — 1.)

Наконец, на рисунке в построена центральная проекция нашего параллелепипеда. Сопоставляя все три проекции, мы видим, что перспектива наиболее адекватно, т. е. "похоже", передает видимый нами объект. Это замечательное свойство центральной проекции и снискало ей славу в искусстве живописи, где она получила особое название — перспектива (от лат. perspicio — ясно вижу). Перспективные проекции, являются и наиболее трудными из рассмотренных нами, поэтому остановимся на перспективе более подробно.

Прежде всего заметим, что реально существующий мир и видимый нами мир — не одно и то же. В самом деле, вспомним всем хорошо знакомый пример: рельсы железной дороги кажутся нам сходящимися на горизонте, хотя мы прекрасно знаем, что это не так и ни один машинист, увидев такую картину, не бросится останавливать поезд.

Ортогональные (а), аксонометрические (б) и центральные проекции (в) прямоугольного параллелепипеда с отношением сторон 1:2:3