Математика и искусство

Объяснение этому "парадоксу" было известно еще до нашей эры. В своем сочинении "Оптика" Евклид постулировал, что мы воспринимаем предметы, когда исходящие от них прямолинейные лучи света сходятся в нашем глазу. Таким образом, всю систему лучей зрения можно представить в виде "пирамиды зрения", вершина которой находится в глазу, а основанием служит рассматриваемый объект. В предложении 4 "Оптики" Евклид доказал, что из двух предметов одинакового размера более удаленный, т. е. видимый под меньшим углом зрения, кажется меньшим. Итак, почему дальние предметы кажутся меньшими, было понятно. Оставалось сделать еще один шаг — рассмотреть картину как сечение пирамиды зрения картинной плоскостью. Однако на этот шаг человечеству потребовалось более 1500 лет.

Мучительно долго ожидали идеи Евклида своего часа, и только в XIV веке могучий поток Возрождения подхватил их. Филиппо Брунеллёски (1377-1446), итальянский архитектор и ученый, автор выдающегося инженерного сооружения — грандиозного 42-метрового каменного купола над хором флорентийского собора Санта-Мария дель Фьоре, ставшего символом Флоренции,- сделал оставшийся шаг. Брунеллёски рассек пирамиду зрения Евклида картинной плоскостью и получил на ней центральную проекцию объекта, или перспективу. Перспектива, таким образом, была не просто объективным геометрическим методом построения изображения, но и "физиологическим" методом, т. е. методом, учитывающим закономерности работы человеческого глаза. Именно поэтому перспектива давала изображения, столь замечательно "похожие" на видимую глазом натуру.

Вслед за Брунеллёски поднимается мощная волна работ по перспективе. Титаны Возрождения не замыкаются в геометрических построениях, а воплощают теоретические разработки в своих бессмертных полотнах. Геометрия и живопись идут рука об руку. Вместе с трактатами "О живописи" Леона Баттисты Альберти, "О живописной перспективе" Пьеро делла Франчески[34] (ок. 1420-1492), "Трактатом о перспективе" Леонардо да Винчи, "Руководством к измерению" Альбрехта Дюрера, "Шестью книгами о перспективе" Гвидо Убальди (1545-1607) рождаются и такие памятники перспективе, как "Бичевание Христа" Пьеро делла Франчески, "Тайная вечеря" Леонардо да Винчи, "Обручение Марии" Рафаэля, "Меланхолия" и "Св. Иероним" Дюрера...

Но вернемся к нашему примеру с железной дорогой. Посмотрим, как изобразятся на плоскости картины "рельсы" — прямые, ортогональные плоскости картины, и "шпалы"- равноотстоящие прямые, параллельные этой плоскости. Пусть точка зрения S есть центр проекций, который определяет положение глаза художника; Т — горизонтальная плоскость, на которой лежат изображаемые объекты; К — плоскость картины (К1.Т). Из точки S мы смотрим[35] на "точки закрепления рельс к шпалам" А₁, А₂, А₃, ... и В₁, В₂, В₃,... Точки пересечения лучей зрения SA_i и SB_i с плоскостью К дают нам изображения (проекции) этих точек а₁, а₂, а₃,... и b₁, b₂, b₃,... на картине К. Очевидно, что точки, лежащие в основании картины, tt — линии пересечения плоскостей К и Т — при проектировании переходят сами в себя, т. е. линейные размеры в основании картины не искажаются.

Ясно, что по мере удаления точек А_i и B_i в бесконечность лучи SA_i и SB_i становятся все более пологими и все ближе подходят друг к другу (так как угол зрения, под которым мы видим равные отрезки A_iB_i, уменьшается), пока наконец не сольются, заняв предельное положение SS_∞. Можно считать, что луч SS_∞ пересекается с обоими "рельсами" (и вообще, с любой прямой, параллельной "рельсам") в бесконечно удаленной точке Sx, которая проектируется в главную точку картины О. Точка О лежит на прямой hh, называемой линией горизонта, которая есть линия пересечения картинной плоскости К и плоскости, проходящей через точку S параллельно плоскости Т. Расстояние SS' = 00' называется высотой точки зрения.

Построение перспективного изображения прямых, перпендикулярных и параллельных картинной плоскости

Таким образом, мы приходим к основной теореме теории перспективы: семейство бесконечных параллельных прямых на плоскости Т, не параллельных основанию картины, изображается семейством пересекающихся отрезков на плоскости К, причем точка пересечения этих отрезков — точка схода - лежит на линии горизонта hh. Различным направлениям на плоскости Т соответствуют различные точки схода на линии горизонта. Следовательно, линия горизонта есть геометрическое место точек схода для всевозможных направлений на плоскости Т. Прямые плоскости T, параллельные основанию картины, точки схода не имеют и проектируются на плоскости К в прямые, параллельные основанию картины ("шпалы" на рисунке).