Математика и искусство

Разумеется, получать проекции точек объекта на картинной плоскости с помощью пространственных построений, как это сделано на рисунке, трудно и неудобно. Поэтому еще архитекторами Возрождения был разработан способ построения перспективы, названный способом архитекторов, позволяющий с помощью точек схода и линии горизонта непосредственно переходить с горизонтальной плоскости Т на плоскость картины К. Для построения точки схода F линии L по способу архитекторов из проекции точки зрения S' проводят линию L' параллельно L до пересечения с основанием картины в точке F'. Точка F' есть проекция точки схода F на основание картины. Восстанавливая из F' перпендикуляр до линии горизонта, находим саму точку схода F. (Доказательство справедливости этого построения очевидно из рисунка, а обоснование остальных построений способа архитекторов мы дадим в конце следующей главы.)

Перспектива открыла перед живописцами небывалые возможности. Впервые у художников появился геометрический метод изображения не отдельного предмета, а всего видимого трехмерного пространства, всего окружающего мира. Невиданные возможности перспективы наиболее ярко раскрывались в изображении интерьера. Вот почему художники Возрождения так любили изображать интерьер (вспомним "Афинскую школу" Рафаэля и "Тайную вечерю" Леонардо да Винчи, см. с. 55 и 308).

В самом деле, полностью изобразить интерьер комнаты, например, в аксонометрии просто невозможно. Для этого нужно считать стены комнаты и ее потолок прозрачными. Можно, конечно, дать ортогональные проекции стен, пола и потолка, но это будет чертеж комнаты. Иное дело — перспектива. Она чудесным образом раскрывает перед нами всю комнату, позволяя увидеть одновременно и ее стены, и пол, и потолок.

На рисунке в способом архитекторов построена перспектива "математической" комнаты в форме куба, имеющей окно, дверь, две балки на потолке и пол, выложенный квадратными плитами. Вынутая стена ABCD комнаты совпадает с плоскостью картины К и передается на ней без искажений (естественно, сохраняются и все размеры на ABCD, такие, как х, у, z и т. д.). Глаз художника расположен напротив центра комнаты, т. е. главная точка картины находится в центре квадрата ABCD. В главной точке картины пересекаются все прямые, перпендикулярные плоскости картины. Для построения перспективы берем план пола комнаты и, проводя из проекции точки зрения S' прямые, параллельные диагоналям пола, находим проекции точек схода F₁' и F₂' диагоналей. Перенося эти точки на линию горизонта hh, получаем точки схода диагоналей F₁ и F₂. В этих точках на перспективе пересекаются диагонали пола и параллельные им (на плане) прямые. Дальнейшее построение перспективы пола и стен комнаты, а также горизонтальных границ окна и двери понятно из рисунка.

Разметка вертикальных линий окна точками А₂, А₃, А₄ делается следующим образом. Берем отрезок A₁A₅, задающий вертикальные линии окна, и его перспективное изображение а₁а₅. Затем откладываем из точки а₁ отрезок A₁A₅ параллельно линии горизонта и проводим через точки А5 и а₅ прямую до пересечения с линией горизонта в точке V. Прямые, проходящие через точку V и точки А₁, А₂, ... , А₅ отрезка A₁A₅, разделят перспективу этого отрезка а₁a₅ в том же отношении. Аналогично размечаются вертикальные линии двери. Перспектива нашей "математической" комнаты готова.

Заметим, что проблема правильного построения перспективы "клетчатого" пола долго не давалась художникам Возрождения. Вот почему, решив эту геометрическую задачу, мастера Возрождения так любили изображать квадраты пола на своих полотнах (см. например, "Афинскую школу" и "Обручение Марии" Рафаэля, с. 310). Квадратные плиты были своеобразной координатной сеткой на плоскости пола и придавали глубине картины особую выразительность.

Заканчивая короткое знакомство с геометрическими основами теории перспективы, покажем, как построить перспективу прямоугольного параллелепипеда, расположенного под углом к плоскости картины К. Для простоты будем считать, что переднее ребро параллелепипеда лежит в плоскости картины. Пространственные построения здесь неудобны (см. рисунок в на с. 277), поэтому перспективу параллелепипеда найдем способом архитекторов, используя только основание параллелепипеда — прямоугольник ABCD, лежащий в горизонтальной плоскости Т.

Построение перспективы интерьера комнаты способом архитекторов: (а) — аксонометрия комнаты; (б) — перспектива комнаты; (в) — план пола комнаты и проекция точки зрения

Прямая (а) и обратная (в) перспективы прямоугольного параллелепипеда, расположенного под углом к картинной плоскости (б)