Математика и искусство

Чувство глубочайшего уважения к мощи законов симметрии никогда не ослабевает у того, кто обдумывал изящество и красоту безупречных математических доказательств и сопоставлял это со сложными и далеко идущими физическими и философскими следствиями.

Чжень-нин Янг Нобелевская лекция

На рисунке изображены узоры, полученные с использованием различных типов геометрической симметрии из простой, достаточно бесформенной кляксы. Узор на рисунке б получен с помощью зеркальной симметрии. Однако закон его построения слишком прост и очевиден, потому и эстетическая ценность такого узора невелика.

'Кляксография' — узоры, полученные из обыкновенной кляксы (а) с помощью зеркальной симметрии (б), переносной симметрии (в)у поворотной симметрии (г) и орнаментальной симметрии(d)

Узоры, приведенные на рисунке в, называются бордюрами и представляют собой тип переносной симметрии, когда каждая предыдущая фигура совпадает с последующей при поступательном перемещении вдоль бордюра на постоянный интервал (шаг симметрии). Нижний бордюр имеет более сложный закон построения, чем простая переносная симметрия. Всего же существует семь типов бордюров.

На рисунке г показаны так называемые "розетки". Розетки получаются поворотом фигуры вокруг вертикальной оси на угол 360°/n (n = 2, 3, 4, ...), т. е. обладают поворотной симметрией n-го порядка. (Верхняя розетка имеет поворотную симметрию 6-го порядка, средняя — 8-го, нижняя же сочетает зеркальную и поворотную симметрии, но в то же время она имеет чисто поворотную симметрию 3-го порядка.)

Наконец, на рисунке д показаны два орнамента из семнадцати возможных. Орнаментальная симметрия строится на одной из пяти возможных плоских решеток. Верхний орнамент имеет квадратную решетку, а нижний — гексагональную (правильный шестиугольник). Заполнив одну ячейку решетки, мы получим с помощью переносной симметрии весь орнамент.

Вот так с помощью симметрии простая клякса превращается в затейливые узоры, которые уже никак не назовешь некрасивыми. Нам нравится вглядываться в узоры симметрии, постигать их законы, и они воспринимаются нами как красивые. "Смысл эстетического воздействия симметрии (и всякой иной закономерности), по нашему мнению,- писал Шубников,- заключается в том психическом процессе, который связан с открытием ее законов".

Другим важным фактором, составляющим эстетическое содержание симметрии, является ее целесообразность, которая также есть проявление закономерного. Уже первобытные люди понимали, что симметричные орудия более целесообразны, чем несимметричные. Таким образом, уже в эпоху неолита симметрия была выделена как наиболее совершенная форма, о чем свидетельствуют многочисленные украшения с симметричными рисунками.

Современный человек просто не в состоянии представить себе несимметричный (а значит, и нефункциональный) самолет или автомобиль. В этой связи показательны наблюдения известного летчика-испытателя, Героя Советского Союза Марка Галлая: "Я заметил, что красивая, ласкающая своими пропорциями взор машина обычно к тому же и хорошо летает. Эта, на первый взгляд, почти мистическая закономерность имеет, я думаю, свое вполне рациональное объяснение: дело, по-видимому, обстоит как раз наоборот — хорошо летающая машина начинает представляться "красивой". Эстетическое формируется под влиянием рационального".

Симметрия, пропорция, гармония — слагаемые прекрасного

Итак, целесообразность симметричных форм была осознана человечеством в доисторические времена, а в сознании древних греков симметрия стала олицетворением закономерности, целесообразности, а следовательно, и красоты. Идея связи прекрасного с симметрией пронизывала всю греческую философию, все греческое искусство. Достаточно вспомнить строго симметричные формы античных архитектурных памятников, изумительную стройность греческих ваз, математическую строгость их орнамента. С тех пор симметрия и красота в сознании человека слиты воедино. В "Фаусте" Гёте противопоставляет в образах Прекрасной Елены и одноглазой, однозубой старухи Форкиады красоту симметрии и уродство асимметрии. В "Сказке о царе Салтане" Пушкин рисует величавую Царевну-Лебедь со звездой во лбу (красота-симметрия) и окривевших злодеек ткачиху с поварихой (уродство-асимметрия). В "Войне и мире" Льва Толстого мы читаем: "Это был огромный, в два обхвата, дуб, с обломанными, давно видно, суками и с обломанной корой, заросшей старыми болячками. С огромными своими неуклюже, несимметрично растопыренными корявыми руками и пальцами, он старым, сердитым и презрительным уродом стоял между улыбающимися березами".