Математика и искусство

Заметим, что во всех случаях приближенного выполнения пропорции золотого сечения ошибка не превышает 1%. К сожалению, существующие обмеры Парфенона выполнены примерно с такой же точностью и поэтому не могут служить критерием истинности теории. Но и более тщательные обмеры Парфенона нужно будет осторожно применять в качестве критерия истины, ибо при строительстве сооружения 2500 лет назад, разумеется, могли быть допущены отклонения от замысла автора.

Вот почему главным критерием истинности той или иной гипотезы будет оставаться ее логическая непротиворечивость, ее математическая целостность. Этим требованиям, по нашему мнению, наиболее полно удовлетворяет система Шевелева, которая не получила еще должного признания. Система Шевелева позволяет из одного размера — ширины стилобата (верхней ступени основания) — получить все размеры Парфенона в диапазоне от 69,5 м (длина стилобата) до 16 см (высота шейки капители)! Таким образом, именно в системе Шевелева выполняется принцип гармонии Гераклита: "из всего — единое, из единого — все".

Итак, главный вопрос о том, какой системой пропорций пользовался гениальный создатель Парфенона зодчий Иктин, пока остается открытым. Заметим, что мы остановились только на соотношении двух главных вертикалей Парфенона. В золотой пропорции соотносятся и многие другие элементы Парфенона, однако подробный анализ пропорций этого великого архитектурного памятника занял бы объем, по крайней мере равный объему всей этой книги. Мы же в нашем кратком обозрении убедились, что разговор об архитектурных пропорциях неизбежно приводит к золотой, или, как ее называли во времена Возрождения, божественной пропорции. Поэтому нам необходимо подробнее познакомиться с математическими свойствами этого интереснейшего феномена.

15. Тайны золотого сечения

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора, а другое — деление отрезка в среднем и крайнем отношении ... Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень.

И. Кеплер

Пятиконечной звезде — около 3000 лет. Ее первые изображения донесли до нас вавилонские глиняные таблички. Из Древней Вавилонии в Средиземноморье, как полагают, звездчатый пятиугольник перевез Пифагор и сделал его символом жизни и здоровья, а также тайным опознавательным знаком. В средние века пентаграмма "предохраняла" от "нечистой силы", что, впрочем, не мешало называть ее "лапой ведьмы". Вспомним гётевского "Фауста":

Мефистофель. Нет, трудновато выйти мне теперь. Тут кое-что мешает мне немного: Волшебный знак у вашего порога. Фауст. Не пентаграмма-ль этому виной? Но бес, пробрался ты за мной? Каким путем впросак попался?

Сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира.

Чем же объясняется такая популярность звездчатого пятиугольника? Тем, что совершенная форма этой геометрической фигуры радует глаз и разум. Звездчатый пятиугольник буквально соткан из пропорций, и прежде всего золотой пропорции. Красота формы пентаграммы, вытекающая из внутренней красоты ее математического строения, была замечена еще Пифагором и с тех пор не устает радовать глаз художника и разум математика.

Рассмотрим подробнее свойства звездчатого пятиугольника. Прежде всего заметим, что уже первый этап его построения — деление окружности на пять равных частей — представляет собой прекрасный пример "обретения неочевидной истины". В самом деле, в то время как деление окружности на 3, 4 и 6 равных частей не представляет затруднений, разделить окружность на 5 равных частей не так-то просто. Вот почему задача о пятикратном делении окружности подробно разбирается в таких великих сочинениях "Начала" Евклида, "Альмагест" Птолемея, "Руководство к измерению" Дюрера[25].

Отметим, что хотя метод Дюрера является приближенным, он отличается большой точностью (углы 1 и 2 равны не 108°, а 108°21'58", углы 4 и 5 чуть больше 107°, а угол С чуть больше 109°), так что погрешности приближенного построения на глаз совершенно не воспринимаются. Сам великий художник не обращал внимание читателей на приближенный характер своих построений, возможно, считая их точными. Дюрер придавал исключительное значение геометрии в искусстве. Вместе с книгой "О пропорциях человеческого тела" трактат Дюрера "Руководство к измерению" является торжественным гимном геометрии в искусстве, блестящей страницей в истории взаимодействия науки и искусства. Однако тема искусства и геометрии в творчестве Дюрера заслуживает особого разговора.