Математика. Поиск истины.

Все остальные аксиомы, предлагавшиеся взамен аксиомы Евклида о параллельных и казавшиеся на первый взгляд более простыми, чем первоначальный вариант, при более тщательном рассмотрении признавались менее удовлетворительными. Нельзя не заметить, что аксиома Плейфера утверждает именно то, чего стремился избежать Евклид: существование двух бесконечных прямых, которые никогда не пересекаются.

Среди попыток второго типа, которые выражались в намерении вывести аксиому о параллельных из девяти других аксиом Евклида, наиболее преуспел член ордена иезуитов, профессор университета в Павии Джероламо Саккери (1667-1733). Он рассуждал так. Если принять аксиому, существенно отличающуюся от аксиомы Евклида о параллельных, то можно было бы прийти к какой-нибудь теореме, которая противоречила бы другой теореме. Такое противоречие означало бы, что аксиома, отрицающая аксиому Евклида о параллельных — единственную сомнительную аксиому евклидовой геометрии, — ложна. Но тогда аксиома Евклида о параллельных должна была бы быть истинной, т.е. следствием, вытекающим из девяти других аксиом.

Как впоследствии Плейфер, предложивший аксиому, эквивалентную аксиоме Евклида, Саккери сначала предположил, что не существует прямых, параллельных прямой l, которые проходили бы через точку P

, лежащую вне прямой l (рис. 33). Из этой аксиомы и девяти других аксиом Евклида Саккери действительно удалось вывести противоречие. Тогда Саккери испробовал вторую единственно возможную альтернативу, предположив, что существуют по крайней мере две прямые p и q

, проходящие через точку P и не пересекающиеся с прямой l, сколько бы их ни продолжали.

Рис. 33.

Саккери доказал довольно много интересных теорем прежде, чем ему удалось обнаружить теорему, столь необычную и так резко выпадавшую из всего ранее известного, что он усмотрел было в ней противоречие с ранее доказанными утверждениями. Исходя из этого, Саккери счел доказанным, что аксиома Евклида о параллельных следует из девяти остальных аксиом евклидовой геометрии, и в 1773 г. опубликовал книгу под названием «Евклид, избавленный от всяких пятен» (Euclides ab omnia naevo vindicatus). Но как позднее установили математики, Саккери во втором случае не удалось прийти к противоречию, поэтому проблема, связанная с аксиомой о параллельных, по-прежнему оставалась открытой.

Попытки найти приемлемую замену евклидовой аксиомы о параллельных или доказать, что она должна следовать из девяти остальных аксиом Евклида, были столь многочисленны и столь безуспешны, что в 1759 г. выдающийся математик Жан Лерон Д'Аламбер (1717-1783) назвал проблему, связанную с аксиомой о параллельных, «скандалом оснований геометрии».

Постепенно у математиков начало складываться правильное понимание истинного статуса аксиомы Евклида о параллельных. В своей докторской диссертации (1763) Георг С. Клюгель (1739-1812), впоследствии профессор университета в Хальмстаде, высказал весьма глубокое замечание о том, что восприятие аксиомы Евклида о параллельных как чего-то достоверного основано на человеческом опыте. В этом замечании Клюгеля впервые прозвучала мысль о том, что аксиомы опираются не столько на очевидность, сколько на опыт. Клюгель выразил сомнение в том, что аксиома Евклида о параллельных доказуема, и понял, что Саккери пришел не к противоречию, а всего лишь к необычному результату.

Диссертация Клюгеля привлекла внимание Иогана Генриха Ламберта (1728-1777), побудив его также заняться аксиомой о параллельных. В своей книге «Теория параллельных прямых», написанной в 1766 г., а изданной в 1786 г., Ламберт, в какой-то мере следуя Саккери, рассмотрел две альтернативные возможности. Предположив, что через точку P, расположенную вне прямой l

(см. рис. 33), не проходит ни одной прямой, параллельной l, он также пришел к противоречию. Но в отличие от Саккери Ламберт не считал, что предположение о существовании по крайней мере двух параллельных, проходящих через точку P, приводит к противоречию. Кроме того, Ламберт понял, что любая система аксиом, которая не приводит к противоречию, порождает свою геометрию. Любая такая геометрия логически ничему не противоречит, хотя и имеет весьма косвенное отношение к реальным физическим фигурам!

Работы Ламберта и других математиков, в частности Абрахама Г. Кестнера (1719-1800), профессора Гёттингенского университета, у которого учился Гаусс, заслуживают того, чтобы упомянуть о них особо. Эти ученые были убеждены, что аксиому Евклида о параллельных нельзя доказать на основе девяти остальных аксиом евклидовой геометрии, т.е. что она независима от остальных аксиом Евклида. Все трое названных нами математиков признавали возможность неевклидовой геометрии, т.е. геометрии, в которой аксиома о параллельных существенно отличается от евклидовой.