Математика. Утрата определенности.

В письме к Христиану Вольфу, опубликованному в Acta eruditorum за 1713 г., Лейбниц рассмотрел тот же ряд. Он согласился с выводом Гранди, но считал, что к подобному заключению можно было бы прийти, не обращаясь к исходной функции. Взяв первый член, сумму первых двух, трех, четырех и т.д. членов, Лейбниц получил 1, 0, 1, 0, …. Следовательно, счел он, 0 и 1 равновероятны и их среднее арифметическое, равное ¹/₂, — наиболее вероятное значение суммы ряда. Якоб, Иоганн и Даниил Бернулли, а также Лагранж согласились с доводами Лейбница. Признав, что его доводы носят не столько математический, сколько метафизический характер, Лейбниц сослался на распространенность такого рода аргументации: в математике, по его словам, метафизических истин гораздо больше, чем обычно думают.

В одном из писем, датированных 1745 г., и в работе 1754-1755 гг. Эйлер предпринял попытку решить проблему суммирования рядов. Ряд, сумма которого по мере увеличения числа членов все меньше отличается от некоторого фиксированного числа, называется сходящимся, а само это число — суммой ряда. По Эйлеру, ряд сходится, если члены его монотонно убывают. Ряд, члены которого не убывают и могут даже возрастать, расходится, а так как ряды такого типа порождаются хорошо известными явными функциями, то Эйлер предложил считать суммой ряда значение функции (при соответствующем значении x).

Теория Эйлера породила дополнительные проблемы. Взяв разложение

1/(1 + x)² = (1 + x)⁻² = 1 − 2x + 3x

² − 4x³ + …,

Эйлер получил при x = −1

∞ = 1 + 2 + 3 + 4 + ….

Результат, казалось бы, вполне осмысленный. Но затем Эйлер рассмотрел ряд для функции 1/(1 − x):

1/(1 − x) = 1 + x + x² + x

³ + …

и получил при x = 2

−1 = 1 + 2 + 4 + 8 + ….

Так как сумма ряда, стоящего в правой части этого ряда, должна превышать сумму предыдущего ряда, Эйлер заключил, что −1 больше, чем бесконечность. Некоторые из современников Эйлера утверждали даже, что отрицательные числа, которые больше бесконечности, отличаются от отрицательных чисел, меньших нуля. С этим Эйлер не согласился: по его мнению, бесконечность разделяет положительные и отрицательные числа так же, как нуль.

Взгляды Эйлера на сходимость и расходимость рядов были ошибочными. В его время уже были известны ряды с монотонно убывающими членами, тем не менее не имеющие суммы по Эйлеру, — да и ему самому приходилось работать с рядами, которые не были порождены явными функциями. «Теория» бесконечных рядов Эйлера была явно неполной. Кроме того, Николай Бернулли (1687-1759) в ныне утерянном письме (1743), по-видимому, обратил внимание Эйлера на то, что различные аналитические выражения могут порождать один и тот же ряд, и если следовать предложенному Эйлером определению суммы ряда, то этому ряду надлежит приписать различные суммы. В письме Гольдбаху (1745) Эйлер ответил, что Бернулли не привел никаких примеров в подтверждение своих слов и что он, видимо, сам не верит в то, что два истинно различных алгебраических выражения могут порождать один и тот же ряд. Однако Жан Шарль Калле (1744-1799) предложил пример ряда, порождаемого двумя различными функциями. Лагранж пытался опровергнуть пример Калле, но, как выяснилось впоследствии, аргументы Лагранжа были ошибочными.

Подход Эйлера к бесконечным рядам был неадекватен и по другим причинам. Ряды можно дифференцировать и интегрировать, и то, что дифференцирование и интегрирование ряда приводит соответственно к производной и антипроизводной функции, породившей ряд, требует особого обоснования. Несмотря на это, Эйлер провозгласил: «Всякий раз, когда бесконечный ряд получается при разложении некоторого замкнутого выражения [формулы для функции], его допустимо использовать в математических операциях как эквивалент этого выражения даже при тех значениях переменной, при которых ряд расходится». Мы можем обратить себе на пользу расходящиеся ряды, утверждал Эйлер, и защитить их применение от всяких возражений.

Другие математики XVIII в. также сознавали необходимость отличать ряды, называемые ныне сходящимися, от рядов, которые мы называем расходящимися, хотя и не знали, где именно проходит различие между теми и другими. Трудность была вызвана новизной понятия: подобно первопроходцам, математикам XVIII в. приходилось прорубать себе дорогу через девственный лес. Первоначальная идея Ньютона, принятая Лейбницем, Эйлером и Лагранжем (ряд не более чем «длинный» многочлен и, следовательно, относится к области алгебры), не могла служить основой для обоснования операций, производимых с рядами.