Математика. Утрата определенности.

Говоря об исчезновении (обращении в нуль) h и k, Беркли заметил: «Предполагая, что приращения исчезают, мы, несомненно, должны предположить, что их пропорции, выражения и все, вытекающее из их существования, исчезает вместе с ними». По поводу предложенного Ньютоном представления о производной как об отношении двух исчезающе малых величин h

и k, Беркли высказался так: «Они не конечные величины, не величины бесконечно малые, не ничто. Как же не назвать их призраками покинувших нас величин?».

Столь же критически Беркли отнесся и к подходу Лейбница. На введенные Лейбницем понятия он обрушился еще в своей ранней работе «Трактат о принципах человеческого знания» (1710, переработанное издание — 1734) ([21], с. 149-248):

Некоторые из них, имеющие громкое имя, не довольствуются мнением, будто конечные линии могут быть делимы на бесконечное число частей, но утверждают далее, что каждая из этих бесконечно малых частей в свою очередь делима на бесконечное число других частей, или бесконечно малых величин второго порядка, и т.д. ad infinitum.

Они утверждают, говорю я, что существуют бесконечно малые части бесконечно малых частей и т.д. без конца… Другие утверждают, что все порядки бесконечно малых величин ниже первого порядка суть ничто…

([21], с. 234.)

Критику идей Лейбница Беркли продолжил в своем «Аналитике» [«Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику» ([21], с. 395-442)]:

Лейбниц и его последователи в их calculus differentialis

без тени сомнения сначала предполагают и затем отвергают бесконечно малые величины, что не может не заметить любой мыслящий человек, наделенный ясным умом и здравостью суждений и не относящийся к такого рода вещам с предвзятой благосклонностью,

Отношение дифференциалов, утверждал Беркли, геометрически должно означать тангенс угла наклона секущей, а не касательной. Эту ошибку математики совершают, пренебрегая высшими дифференциалами. Так, «благодаря двойной ошибке вы приходите хотя и не к науке, но все же к истине», потому что одна ошибка компенсирует другую. Неудовольствие Беркли вызвал и второй дифференциал Лейбница d(dx) — «разность величины dx, которая и сама едва различима».

«Можно ли назвать действия современных математиков, — спрашивал Беркли, имея в виду подход как Ньютона, так и Лейбница, действиями людей науки, если они с гораздо большим рвением стремятся применить свои принципы, нежели понять их?» «Во всякой другой науке, — утверждал Беркли, — люди доказывают правильность заключений, исходя из принятых ими принципов, а не принципы, исходя из заключений».

Беркли завершал свой «Аналитик» целой серией вопросов. Вот некоторые из них:

Разве математики, столь чувствительные в вопросах религии, столь же скрупулезно придирчивы в своей науке? Разве не полагаются они на авторитет, принимая многое на веру, и разве не веруют они в вещи, непостижимые для разума? Разве нет у них своих таинств и, более того, своих несовместимостей и противоречий?

Многие математики выступили с ответом на критику Беркли, и каждый из них пытался, но безуспешно, обосновать математический анализ. Наиболее значительную попытку предпринял Эйлер. Он полностью отверг геометрию как основу анализа и начал работать с функциями чисто формально, т.е. строить рассуждения, исходя из алгебраического (аналитического) представления функций. Эйлер отверг и предложенное Лейбницем понятие бесконечно малой как величины, которая меньше любого заданного числа, но все же не равна нулю. В своем сочинении «Основы дифференциального исчисления» (Institutiones calculi differentialis, 1755), классическом курсе математического анализа XVIII в., Эйлер привел следующее рассуждение: