Математика. Утрата определенности.

Один из биографов Гаусса утверждает, что тот пытался проверить свой вывод о пригодности неевклидовой геометрии к описанию реального мира. Гаусс обратил внимание на то, что в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°, а в неевклидовой — меньше 180°. В течение нескольких лет Гаусс занимался топографической съемкой Ганновера и имел доступ ко всем данным, полученным при съемке. Вполне возможно, что он воспользовался этими данными для проверки суммы углов треугольника. В знаменитой работе от 1827 г. Гаусс отметил, что сумма углов треугольника, образованного тремя горными вершинами, Брокеном, Хоэхагеном и Инзельбергом, превышает 180° примерно на 15". Этот результат сам по себе ничего не доказывал, так как ошибки измерения были гораздо больше 15"; поэтому правильное значение суммы углов вполне могло быть равно 180° или быть меньше 180°. Гаусс, по-видимому, понимал, что выбранный им треугольник слишком мал для решающей проверки, так как в его (Гаусса) неевклидовой геометрии отклонение суммы углов треугольника от 180° пропорционально площади треугольника. Существенное отклонение от 180° можно было бы обнаружить в треугольнике гигантских размеров, какие возможны разве что в астрономии. И все же Гаусс был убежден, что новая геометрия применима к описанию физического мира ничуть не хуже, чем евклидова геометрия. 

Лобачевского также интересовала проблема применимости его геометрии к физическому пространству — и он аргументировал ее применимость к геометрическим фигурам очень больших размеров. Таким образом, к 30-м годам XIX в. неевклидову геометрию не только признали в узком кругу математиков, но и сочли применимой к физическому пространству. 

Вопрос о том, какая геометрия лучше всего соответствует физическому пространству (этот вопрос больше всего волновал Гаусса), способствовал появлению еще одного творения человеческого разума — новой геометрии, еще более склонившей математический мир к убеждению, что геометрия физического пространства может быть неевклидовой. Создателем новой геометрии стал Георг Барнхард Риман (1826-1866), ученик Гаусса, занявший впоследствии пост профессора математики в Гёттингене. Хотя работы Лобачевского и Бойаи не были в деталях известны Риману, о них был осведомлен Гаусс, и Риман, возможно, знал о сомнениях своего учителя относительно того, что геометрия реального мира непременно должна быть евклидовой. 

Гаусс предложил Риману выбрать для пробной лекции, которую тот должен был прочитать для получения звания приват-доцента, тему об основаниях геометрии. Риман прочитал свою лекцию в 1854 г. на философском факультете Гёттингенского университета. На лекции присутствовал и Гаусс. В 1868 г. — уже после смерти Римана — его лекция была опубликована под названием «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» ([24], с. 309-325). В ней Риман подробно анализировал проблему структуры пространства. Сначала он рассмотрел вопрос о том, что достоверно известно о физическом пространстве. Риман поставил вопрос так: какие данные и условия заранее заложены в самом понятии пространства до того, как мы опытным

путем устанавливаем, какими свойствами может обладать физическое пространство? Из этих данных и условий, приняв их за аксиомы, Риман намеревался вывести остальные свойства пространства. Аксиомы и логические следствия из них можно было бы считать априорными и необходимыми истинами. Все остальные свойства пространства подлежали эмпирическому исследованию. Риман попытался показать (и в этом состояла одна из главных целей его программы), что аксиомы Евклида в действительности имеют эмпирическое происхождение, а не являются самоочевидными истинами. Риман избрал аналитический подход (опирающийся на математический анализ и некоторые его высшие разделы) из опасения, что при геометрических доказательствах нас могут вводить в заблуждение чувственные восприятия и мы можем предположить такие свойства и факты, которые явно не участвуют в доказательстве. 

Предложенный Риманом подход к анализу структуры пространства отличался большой общностью, и для наших целей нет необходимости входить здесь в его детали. Исследуя априорные свойства пространства, Риман ввел некое представление, которое впоследствии стало еще более важным, а именно различие между отсутствием границ («безграничностью») и бесконечностью пространства. (Например, поверхность сферы не имеет границ, но она не бесконечна.) Безграничность, подчеркнул Риман, на эмпирическом уровне воспринимается легче, чем бесконечная протяженность.