Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

Для определения числа π эксперимент, отвечающий настоящей задаче, более удобен чем первоначальный, предложенный Бюффоном. (Почему бы не взять лист клетчатой бумаги и не провести его?) Автор провел такой опыт с зубной щеткой и графленой бумагой. Длина щетки была равной 5.2 дюйма, а клетки 1 дюйм. При десяти бросаниях автор получил 8, 6, 7, 6, 5, 6, 7, 5, 5, 7 пересечений, что в сумме дает 62.

Итак, оценкой числа π в этом случае является 4∙5.2/(62/10) ≈ 3.35 вместо 3.14. При другом опыте, состоящем также из 10 подбрасываний, было получено 67 пересечений, что дает оценку 3.10.

56. Обсуждение задачи о двух урнах

Е. Молина предложил эту задачу, чтобы дать формулировку знаменитой проблемы Ферма на вероятностном языке.

Пусть z обозначает число белых шаров в первой урне, x — число белых шаров и y — число черных шаров во второй урне. Тогда задача состоит в том, чтобы найти целые числа n, x, y и z такие, что

или

zⁿ = xⁿ + yⁿ.

Хотя для многих значений n известно, что это уравнение не имеет корней, но не установлено, так ли это при всех n ≥ 3. Доказано, однако, что целочисленных решений нет при n < 2000.

57. Обсуждение задачи о простых делителях

Из таблиц или из непосредственного расчета нетрудно выписать распределения числа простых делителей для небольших значений N.

В таблице 1 приведены результаты для N = 100 и N = 1000 вместе со средними x̅ и дисперсиями s².

Таблица 1. Распределение числа простых делителей с учетом их кратностей для N = 100 и N = 1000 вместе со средними x̅ и дисперсиями s² (x = число простых делителей)

N = 100					N = 1000
x	f	fx	fx²		x	f
1	26	26	26		1	169
2	34	68	136		2	299
3	22	66	198		3	247
4	12	48	192		4	149
5	4	20	100		5	76
6	2	12	72		6	37
	100	240	724		7	14
x̅ = 2.40, s² = ∑f∙(x − x̅)2/N = ∑f∙x²/N − x̅² = 1.48.					8	7
					9	2
						1000
					x̅ = 2.88, s² = 2.22

Из этой таблицы, например, видно, что среди первых 100 натуральных чисел ровно 26 простых, у 34 чисел два простых делителя и только у двух шесть простых делителей.

Распределение числа делителей при N = 100 напоминает выборку из закона Пуассона. Для пуассоновских распределений среднее равно дисперсии. Из таблицы видно, что для N = 100 среднее несколько больше дисперсии. Если рассмотреть величину x − 1 вместо x, то новое среднее будет равно 1.40, а дисперсия, равная 1.48, не изменится. Полезно сравнить полученные результаты с табличными вероятностями для закона Пуассона. (Сумма элементов последней строки первой половины табл. 2 не равна 100 из-за округления значений.)

Таблица 2. Частоты простых делителей x и соответствующие величины для распределения Пуассона со средним m

N = 100
x − 1	0	1	2	3	4	≤ 5
Наблюденные частоты	26	34	22	12	4	2
Пуассоновские частоты для m = 1.4	24.7	34.5	24.2	11.3	3.9

N = 1000
x − 1	0	1	2	3	4	5	6	7	≤ 8
Наблюденные частоты	169	299	247	149	76	37	14	7	2
Пуассоновские частоты для m = 1.9	150	284	270	171	81	31	10	3	1
Пуассоновские частоты для m = 1.8	165	298	268	161	72	26	8	2	1

Видно, что при N = 100 совпадение лучше, нежели при N = 1000. Для N = 1000 более точная аппроксимация при небольших значениях x − 1 может быть получена за счет выбора меньшего математического ожидания пуассоновского распределения.

Таблица 2 подтверждает предположение о пуассоновости распределения числа простых делителей, однако картина слишком сложна, чтобы можно было угадать вид параметра этого закона для больших N.

Мы знаем, что вероятность отсутствия простых делителей, т. е. того, что само число просто, равна приближенно 1/ln(N). Для закона Пуассона вероятность появления 0 равна e^−m, где m — математическое ожидание этого распределения (см. задачу 29). Отсюда выводим:

и

−m = −ln(ln(N)),

или

m = ln(ln(N)).

Любопытно сравнить эту формулу с полученными ранее результатами.

Имеем

ln(ln(100)) = 1.53,

что надо сравнить со средним 1.4 при N = 100. Для N = 1000 среднее равнялось 1.88, а

ln(ln(1000)) = 1.93.

Из этого сравнения кажется весьма правдоподобным, что распределение числа простых делителей, уменьшенного на 1, приближенно подчиняется закону Пуассона со средним m = ln(ln(N)).

Для доказательства этого факта требуются тонкие и глубокие современные математические методы.

В табл. 3 сопоставлены значения ln(ln(N)) и числа простых делителей для некоторых N, вычисленные на ЭЦВМ.

Таблица 3. Среднее и дисперсии числа простых делителей (минус 1) и ln(ln(N))