Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

Свяжем с каждым натуральным числом от 1 до N число его простых делителей, сосчитанное с учетом их кратностей (так у числа 12 три простых делителя: две 2 и одна 3). Вычислим относительную частоту таких делителей для различных значений N. Что можно сказать об этом распределении при N, стремящемся к бесконечности? Возможно, что читателю пригодится тот факт, что при больших N число простых чисел, не превосходящих N, приближенно равно N/log N. Число 1 обычно не считается простым делителем, но нам будет удобно предположить, что 1 есть простой делитель числа 1, но не является простым делителем никакого другого числа.

Решения задач

1. Решение задачи о ящике с носками

Рассмотрим сначала численный пример. Пусть в ящике 5 красных и 2 черных носка; вероятность того, что первый вынутый носок — красный, равна 5/(5 + 2). Если первый носок — красный, то условная вероятность того, что второй носок также красный, равна 4/(4 + 2), так как один красный носок уже вынут. Произведение этих двух чисел дает вероятность того, что оба носка красные:

Это число близко к ½, но в условии задачи фигурирует ровно ½. Подойдем теперь к задаче алгебраически.

Пусть в ящике r красных и b черных носков. Вероятность того, что первый носок — красный, равна r/(r + b) и при осуществлении этого события условная вероятность того, что второй вынутый носок также красный, есть (r − 1)/(r + b − 1). Согласно условиям задачи вероятность того, что оба носка — красные, равняется ½, или

Можно начать со значения b = 1 и искать нужное значение r, затем перейти к случаю b = 2 и рассмотреть различные значения r и т. д. Это довольно быстро приводит к решению. Но можно подойти к задаче и на более солидном математическом уровне.

Заметим, что

  при b > 0.

Отсюда следует неравенство

Извлекая квадратные корни, для r > 1 получаем

Из первого неравенства имеем

или

Из второго неравенства находим

так что

Для b = 1 получаем

2.414 < r < 3.414,

так что можно взять r = 3. При r = 3, b = 1 имеем

Таким образом, минимальное число носков есть 4.

Рассмотрим теперь четные значения b.

b	r между	Подходящее r	P(2 красных носка)
2	4,9; 5,8	5	(5·4)/(7·6) ≠ 1/2
4	9,7; 10,7	10	(10·9)/(14·13) ≠ 1/2
6	14,5; 15,5	15	(15·14)/(21·20) = 1/2

Таким образом, минимальное число носков в ящике есть 21 при условии, что b четно. Если интересоваться всеми значениями r и b такими, что вероятность извлечения двух красных носков равна ½, то следует использовать методы теории чисел. Этот вопрос приводит к знаменитому уравнению Пелла[4]. Возьмите, например, r = 85, b = 35.

2. Решение задачи о последовательных выигрышах

Поскольку чемпион играет лучше отца, сыну следует играть с ним поменьше партий. С другой стороны, вторая партия — основная, так как сын не может выиграть дважды подряд, не выиграв вторую партию. Пусть C означает чемпиона, F — отца, W и L — выигрыш и проигрыш сына. Пусть, далее, f есть вероятность того, что сын выиграет у отца, а c — вероятность того, что он выиграет у чемпиона. Считается, что выигрыши сына независимы. В следующей ниже таблице приводятся возможные результаты и их вероятности.

Схема FCF				Схема CFC
F	C	F	Вероятности	C	F	C	Вероятности
W	W	W	fcf	W	W	W	cfc
W	W	L	fc(1 − f)	W	W	L	cf(1 − c)
L	W	W	(1 − f)cf	L	W	W	(1 − c)cf
Общая вероятность выигрыша			fc(2 − f)	Общая вероятность выигрыша			fc(2 − c)

Так как отец играет хуже чемпиона, f > c и (2 − f) < (2 − c), так что сыну нужно выбрать вариант CFC. Например, если f = 0.8, c = 0.4, то вероятность получить приз при схеме FCF равна 0.384, а при схеме CFC — 0.512. Таким образом, бо́льшая вероятность выигрыша второй партии перевешивает невыгоды игры два раза с чемпионом.

Многие предполагают, что чем больше математическое ожидание числа успехов, тем больше вероятность выиграть приз, и часто такой подход бывает правильным. Но в данной задаче есть условия, нарушающие такие рассуждения по аналогии.

Среднее число выигрышей по схеме CFC равно 2c + f, и оно меньше, чем среднее число побед для схемы FCF, 2f + c. В нашем числовом примере при f = 0.8 и c = 0.4 эти средние равны, соответственно, 2 и 1.6. Такое «противоречие» придает задаче специальный интерес.

3. Решение задачи о легкомысленном члене жюри