Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

Скольким из этих способов отвечают три различных номера? Если для красной кости имеется 6 вариантов, то для зеленой уже только 5, так как номер, выпавший на красной кости, не должен повториться. Зеленая кость может выпасть по аналогичным соображениям лишь одной из четырех граней, отличных от предыдущих. Итак, всего существует 6·5·4 = 120 возможных вариантов.

Оставим на время второй случай и перейдем к рассмотрению третьего — когда выпадает три одинаковых номера. Число таких вариантов равно 6, так как красная кость может выпасть шестью различными способами, зеленая же и синяя только одним, а именно тем, которым выпала красная.

Это означает, что существует 216 − 126 = 90 комбинаций, при которых выпадает ровно два одинаковых номера. В этом, впрочем, можно убедиться и непосредственно. Возможны следующие сочетания костей с одинаковыми номерами: красно-зеленая, красно-синяя и зелено-синяя. Для нахождения общего числа комбинаций определим число возможных вариантов, скажем, для сочетания красно-зеленая, и умножим его на три. Красная кость может выпасть шестью способами, зеленая — только одним и синяя — пятью, т. е. всего существует 30 таких вариантов. Окончательный результат 3·30 = 90 совпадает с почученным ранее.

Средний ущерб получается суммированием произведений вероятностей отдельных случаев на ущерб, им соответствующий:

120/216 · 0 + 90/216 · 1/6 + 6/216 · 2/6 = 17/216 ≈ 0.079[5].

Итак, в среднем игрок теряет 8 % своей ставки. Учитывая, что игра продолжается около 30 секунд, а по государственным облигациям выплачивается менее 4 % доли прибыли за год, такую игру можно назвать чудовищно несправедливой.

Проведенные расчеты верны лишь для правильных костей. Иногда вместо костей употребляется крутящееся колесо со стрелкой, которое после остановки показывает на участок окружности, отвечающий определенной комбинации из трех цифр. При этом относительные длины этих участков плохо согласуются с вероятностями появления соответствующих комбинаций при подбрасывании костей. Наблюдения показывают, что для таких колес двух- и трехкратные выплаты встречаются чаще и, значит, средний ущерб еще больше.

7. Решение задачи о переубеждении упрямого игрока

Если Браун выиграет хоть один раз за 36 игр, он не потерпит убытка. Вероятность проиграть все 36 раз равна

Математическое ожидание выигрыша в одной игре есть

а в 36 играх:

При игре против благожелательного друга математическое ожидание выигрыша Брауна равно

20·0.617 − 20·0.383 = 4.68.

В итоге Браун в среднем получит 4.68 − 1.89 = 2.79 доллара за 36 игр и будет в выигрыше. Возможно, доброжелательный друг будет сам переубежден. Разумеется, если Браун проиграет все 36 игр, то потеряет 56 долларов, что весьма неприятно.

8. Решение задачи о «масти» при игре в бридж

Эта вероятность ничтожно мала. Так как колода хорошо перетасована, можно считать, что 13 карт сняты сверху. Для получения 13 карт одной масти нужно, вытащив сначала любую из 52 карт, извлечь затем все карты той же масти (которых всего 13 штук). Итак, число способов получения «масти» равно

52·12·11·10·9·8·7·6·5·4·3·2·1 = 52·12!

Общее же число способов извлечения 13 карт из 52 равно

52·51·50·49·48·47·46·45·44·43·42·41·40 = 52!/39!

Искомая вероятность равна 52·12!/(52!/36!) = 12!·39!/51! Обратная величина может трактоваться как среднее число игр до появления «масти».

Из таблиц[6] находим:

lg 12! = 8.68034,     lg 51! = 66.19065,

lg 39! = 46.30959,     lg (12!·39!) = 54.98993,

lg (12!·39!) = 54.98993,     lg(12!·39!/51!) = 11.20072,

12!·39!/51! = 1.588·10⁻¹¹.

При вычислениях такого рода точный ответ часто приводит в замешательство. Что из того, что в одном из 160 миллиардов случаев имеется возможность получить «масть»? Сколь часто должны мы были бы слышать о таком событии? Явно завышая числа, предположим, что в США в бридж играют 10 миллионов, и что каждый игрок играет 10 раз всякий день в году. Это дает 36½ миллиардов игр в год, так что исключительную сдачу можно ожидать один раз в 4 года (причем о некоторых из них заведомо не будет объявлено публично). Даже в два раза большее количество игроков, которые играют к тому же в два раза чаще, привело бы лишь к одной такой сдаче в течение года.

Чем можно объяснить значительную большую частоту сообщений о появлении «масти»? Многими причинами, среди которых следует назвать склеивание карт и плохое тасование. (Нашумевший случай «масти», действительно имевший место, произошел при первой раздаче новой колоды.)

Несомненно также, что некоторые репортеры стали жертвами шуток и мистификаций. Если вы подстроили своей бабушке «масть» в день ее рождения и хотите потом сознаться в этом, то вы, наверное, все же промолчите, после того как об этом исключительном событии будут оповещены все родственники, друзья и. репортеры. С другой стороны, ввиду внимания к столь редким явлениям, кажется неправдоподобным, чтобы такую комбинацию подстраивали шулера.