Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

Оба типа жюри имеют одинаковую вероятность вынести правильное решение. В самом деле, два серьезных члена жюри будут голосовать за справедливое решение с вероятностью p·p = p², при этом результат голосования третьего члена жюри не существен. Если же эти судьи расходятся во мнениях, вероятность чего равна p(1 − p) + (1 − p)p = 2p(1 − p), то для нахождения вероятности правильного решения это число надо умножить на ½. Таким образом, полная вероятность вынесения справедливого решения жюри из трех человек равна p² + p(1 − p) = p, что совпадает с соответствующей вероятностью для жюри из одного человека.

4. Решение задачи об испытаниях до первого успеха

Кажется ясным, что ответ должен быть 6. Чтобы это проверить, обозначим через p вероятность появления шестерки. Тогда вероятности первого успеха при данном испытании равны (

q = 1 − p):

Испытания	1	2	3...
Вероятность первого успеха	p	pq	pq² ...

Сумма вероятностей равна

p + pq + pq² + ... = p(1 + q

+ q² + ...) = p/(1 − q) = p/p = 1.

 Среднее число испытаний m до первого успеха по определению равно

m = p + 2pq + 3pq² + 4pq³ + ...

Для нахождения суммы такого ряда применим обычный прием суммирования геометрических рядов

qm = pq + 2pq² + 3

pq³ + ...

Вычитая второе выражение из первого, находим

m − qm = p + pq + pq² + ...

или

m(1 − q) = 1,    mp = 1,    m = 1/p.

В нашем примере p = 1/6, так что m = 6.

Предыдущие вычисления были проведены подробно, так как геометрическое распределение часто встречается в этой книге. Красивый способ решения этой задачи дается следующим рассуждением: если первое испытание закончилось неудачей, то условное среднее число испытаний равно 1 + m

, а если первое испытание закончилось успехом, то условное среднее число испытаний равно 1. Поэтому

n = p·1 + q(1 + m) = 1 + qm     и     m = 1/p.

5. Решение задачи о монете в квадрате

Когда мы бросаем монету на стол, то некоторые области положения центра тяжести монеты вероятнее других, но если квадрат достаточно мал, можно считать, что распределение вероятностей равномерно. Это означает, что вероятность попадания центра в какую-либо область квадрата пропорциональна площади этой области; она равна площади области, деленной на площадь квадрата. Так как радиус монеты равен 3/8 дюйма, то для выигрыша игрока центр не должен находиться ближе, чем 3/8 дюйма от сторон квадрата (рис. 3). Этому ограничению отвечает квадрат со стороной 1/4 дюйма, внутри которого должен лежать центр монеты. Так как вероятности пропорциональны площадям, то вероятность выигрыша равна (1/4)² = 1/16. Разумеется, монета вообще может не попасть на стол, и вероятность вы выигрыша на самом деле еще меньше. Квадраты также могут быть уменьшены за счет утолщения разделяющих линий. Если эти линии имеют толщину и 1/16 дюйма, то выигрышной области соответствует вероятность (3/16)² = 9/236, или меньше 1/28.

Рис. 3. Заштрихованная область отвечает случаю, когда игрок выигрывает.

6. Решение задачи «Попытай счастья»

Подсчитаем ущерб, возникающий в следующих случаях: (а) номера всех трех костей различны, (б) имеются ровно два одинаковых номера и (в) все три номера одинаковы. Предположим для простоты, что на каждый номер поставлена единичная ставка. Пусть для начала выпало три различных номера, скажем, 1, 2 и 3. Тогда игорный дом получает три единичные ставки на выигравших номерах 4, 5, 6 и расплачивается ими за три проигравших номера: 1, 2, 3. В этом случае нет ни выигравших, ни проигравших. Ясно, что так будет всегда, когда выпадают три различных номера.

Предположим теперь, что после подбрасывания костей выпало ровно два одинаковых номера, например, 1, 1 и 2. В этом случае игорный дом может использовать ставки, поставленные на номера 3 и 4, как расплату с номером 1, а ставку с номера 5 уплатить номеру 2. Деньги же, поставленные на нономер 6, таким образом, остаются игорному дому. Итак, игорный дом в этом случае выигрывает одну ставку, а игрок ее теряет, так что при единичной ставке ущерб последнего равен 1/6.

Наконец, пусть на всех костях выпало одно и то же число, скажем, 1, 1, 1. Тогда игорный дом выплачивает сумму, равную утроенной ставке, из денег, поставленных на номера 2, 3, 4, оставляя себе ставки, соответствующие номерам 5 и 6. В этом случае потеря игрока, рискующего одной ставкой, равна 2/6. Любопытно заметить, что в среднем игроки теряют больше всего в случаях двух и трехкратной выплаты.

Для определения среднего ущерба, соответствующего единичной ставке, нужно найти вероятности рассмотренных случаев. Пусть игральные кости различаются по цвету, скажем, красная, зеленая и синяя. Они могут выпасть 6·6·6 = 216 способами.