Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики

Если все это меня забавляет, я могу и дальше придумывать слова. Я могу определить треугольники, круги и квадраты в категориях их сигнатур. Например, треугольник будет определен как форма со следующей сигнатурой:

вершина, вершина, вершина.

Точно так же я могу решить назвать звездой с n-количеством лучей форму, одна из сигнатур которой создается повтором схемы вершина, впадина n раз. Частным случаем является звезда с 5 лучами, одна из сигнатур которой выглядит так:

вершина, впадина, вершина, впадина, вершина, впадина, вершина, впадина, вершина, впадина.

Согласно этому определению, сердце

есть звезда с одним лучом.

На языке сигнатур и форм можно описать метод, чтобы разобраться с игрой на терпение, не нащупывая решение часами.

Определение.Отражением сигнатуры называется последовательность слов, полученная на основании некой сигнатуры посредством систематической замены слова «впадина» на слово «вершина» и слова «вершина» на слово «впадина».

Таким образом, отражением «вершина, вершина, вершина» является «впадина, впадина, впадина»

, и наоборот. Если две сигнатуры эквивалентны с учетом смещения, таковы же и их отражения, и, следовательно, понятие отражения распространяется на формы. Основным результатом теории игры является следующий факт.

Теорема.Для каждой фигуры F существует уникальное отверстие О, такое, что форма О является отражением формы F, и О – единственное отверстие, в которое может поместиться F.

Иначе говоря, чтобы определить, в какое отверстие может поместиться фигура, есть следующий метод.

1. Обвести пальцем фигуру, чтобы вычислить ее форму.

2. Обвести пальцем каждое отверстие, пока не будет обнаружена форма-отражение.

3. Когда мы ее найдем, мы можем быть уверены, что нашли правильное отверстие: фигура в него войдет.

Настоящая математика

Как и все математические определения, наше определение форм производит впечатление голословного и оторванного от жизни.

Не будем все же забывать о хорошем: мы только что совершили подвиг, рассказав о формах через лексику тактильного опыта без отсылок к зрительному. Иначе говоря, мы нашли средство выразить, что такое «иметь форму звезды» на языке, который был бы понятен незрячему.

Плохо то, что наше определение уныло. Оно совершенно не передает красоту и богатство зрительного опыта. По сравнению с тем, что для нас представляют собой формы, с их глубиной, с их универсальностью, со всем, что заставляет нас любить их и ощущать как очевидность, наше определение прискорбно скудно.

Было бы глупо думать, что мы закончили. Мы едва начали. Наше определение – лишь крошечная отправная точка среди бессчетного множества других возможных точек на пути к тому, чтобы добраться до сути того, что такое форма. Ничто не запрещает нам продолжать усилия. Ничто не запрещает изобретать все более гибкий язык, чтобы все более тонко улавливать, что же точно значит, в случае звезды, быть более или менее заостренной, более или менее вытянутой, более или менее изогнутой и так далее.

Но расширение лексикона, повышение точности и добавление подробностей не решат нашу проблему.

Наша проблема гораздо серьезнее. Видеть – это не вопрос слов. Видеть – это чувственный, инстинктивный опыт, который мы переживаем без рефлексии.

Сказать, что форма – это класс эквивалентности сигнатур с учетом смещения, сказать, что звезда – это форма, одна из сигнатур которой создается повтором схемы «вершина, впадина» n раз, будет, возможно, весьма хитроумно, но никогда не удовлетворит нас полностью. Мы же не роботы. Мы вовсе не хотим познавать мир через язык, которым пишут административные бланки. Мы хотим «видеть» не раздумывая.

Когда вы разбираете текст, написанный на официальном языке математики, вы находитесь в положении слепого, который разбирает наше формальное определение звезд, будучи не в состоянии видеть звезды. Разумеется, это какая-то тарабарщина – во всяком случае в начале, пока вам не удастся придать определениям интуитивный смысл, пока вы не поймете, что они «означают».

Задача понимания математики именно в этом: найти способ сформировать внутри себя новые мысленные образы на базе формальных определений, чтобы сделать эти определения интуитивно понятными, «почувствовать», о чем они говорят.