Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики

Сила математического отношения к миру в том, что можно позволить себе расширить язык новыми словами, которым дается точное значение. Опираясь на вещи, которые люди уже видят, можно построить новые, которых они еще не видят, но могут ими манипулировать через определения.

По мере манипуляции этими новыми словами появляется надежда, что в конце концов они на самом деле их поймут.

Чтобы можно было говорить о треугольниках, звездочках и квадратах, не опираясь на зрение, достаточно реконструировать эти понятия, опираясь на лексикон осязания. Нельзя просто указать пальцем и сказать «смотри, это звездочка». Такая неспособность опереться на общий опыт создаст серьезные трудности с формулировками и кончится неудобоваримым и сложным текстом. Но мы все же справимся.

Вот на что мог бы походить результат. Осторожно, следующие три страницы написаны стилем, очень похожим на стиль официальной математики. Следовательно, их откровенно тяжело читать.

Тактильная теория игры на терпение для начинающих

Проводя пальцем по краю фигуры (или отверстия), мы обнаруживаем последовательность вершин и впадин. Дадим этой последовательности вершин и впадин название: пусть она называется сигнатурой

фигуры (или отверстия). Например, у нас есть фигура (которую вы хотите назвать треугольником, только этого слова еще не существует) со следующей сигнатурой:

вершина, вершина, вершина;

и есть отверстие (в которое эта фигура может поместиться) со следующей сигнатурой:

впадина, впадина, впадина.

Как это всегда бывает с математическими определениями, слово «сигнатура» выбрано произвольно. Я мог бы выбрать другое слово, и это ничего бы не изменило, потому что смысл, который я ему даю, сводится к его определению, без прямой связи с его использованием в обычном языке. Но раз у меня есть выбор, лучше взять слово, которое упростит чтение, а значит, я возьму слово, чей повседневный смысл может помочь понять математический. «Сигнатура» кажется мне подходящим вариантом, потому что наводит на мысль, что сигнатура поможет идентифицировать каждую фигуру и каждое отверстие. Если это слово ничего вам не говорит, вы вольны заменить его каким-нибудь другим.

И все же определение, которое я дал, создает небольшую техническую проблему: у одного и того же объекта может быть несколько разных сигнатур в зависимости от точки, с которой началось движение вашего пальца. Значит, для большей точности стоило бы говорить об «одной из сигнатур», а не просто о «сигнатуре». Например, у нас есть фигура (которую вы хотите назвать звездочкой

), одна из сигнатур которой выглядит так:

вершина, впадина, вершина, впадина, вершина, впадина, вершина, впадина, вершина, впадина.

Но, начав вести пальцем с другого места, вы могли бы также обнаружить в качестве сигнатуры вот что:

впадина, вершина, впадина, вершина, впадина, вершина, впадина, вершина, впадина, вершина.

Важна не сигнатура как таковая, а сигнатура с учетом смещения. Под выражением «с учетом смещения» имеется в виду следующее: элементарным смещением сигнатуры называется операция, заключающаяся в том, чтобы взять первое слово и поместить его в конец. Так, элементарное смещение, начинающееся с сигнатуры

впадина, вершина, вершина, вершина,

приводит к сигнатуре

вершина, вершина, вершина, впадина.

Мы говорим, что две сигнатуры эквивалентны с учетом смещения, если от одной к другой можно перейти через последовательность элементарных смещений. Например, следующие четыре сигнатуры эквивалентны с учетом смещения:

впадина, вершина, вершина, вершина;

вершина, вершина, вершина, впадина;

вершина, вершина, впадина, вершина;

вершина, впадина, вершина, вершина.

И действительно, они выводятся друг из друга посредством применения элементарных смещений. Если применить элементарное смещение к последней из этих четырех сигнатур, мы вернемся к первой.

Определение.Форма есть класс эквивалентности сигнатур с учетом смещения.

Чтобы понять это определение, нужно знать понятие класса эквивалентности. Это классическое математическое понятие, вы найдете его определение в любой книге по теории множеств. На практике определение говорит о том, что любая сигнатура определяет некую форму и что две сигнатуры определяют одну и ту же форму, если – и только если – они эквивалентны с учетом смещения. Четыре сигнатуры выше – пример класса эквивалентности сигнатур с учетом смещения.