Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики

Я учился в подготовительном классе лицея Людовика Великого. Мне преподавали серьезную, официальную математику во всей пышности аксиом, определений, предположений, теорем, доказательств, символов и формул. Все это мне преподавали в логическом и структурированном виде. Меня учили оформлять математику строго и точно.

И все это время, не осмеливаясь никому рассказать, я продолжал цепляться за свою наивную интуицию. Это совершенно не работало и приводило к очень странному результату.

Рисунки в моей голове напоминали мои же каракули в детском саду, когда я рисовал человечков с руками и ногами прямо из головы, не осознавая, что забыл какую-то часть тела. Точнее, так: я осознавал, что забыл часть тела, и она определенно важна, но осознавал я это смутно и невнятно и не мог назвать, чего же не хватает. Я знал, что тут что-то не так, но не мог сказать что.

Помню, однажды я позвал воспитательницу и сказал, что на моем рисунке чего-то не хватает. Она ответила, что все в порядке и рисунок очень милый. У меня возникло впечатление, что ей на меня наплевать.

Мне совершенно не хотелось повторять этот опыт и поднимать руку, чтобы сказать, что у меня проблема, потому что образы в моей голове получаются неправильными. Мне совершенно не хотелось выставлять себя на всеобщее посмешище. Рефлекторно я старался воспринимать эти мысленные образы как мысли-паразиты, от которых нужно было избавиться.

Если бы секрет успеха в подготовительном классе лицея Людовика Великого заключался в том, чтобы мыслить как четырехлетка и малевать в голове каракули, все бы об этом знали.

Настала пора подрасти. Я должен был научиться мыслить логически и структурированно, серьезными и сложными словами, а не представлять себе разные вещи в упрощенном и образном виде. Надо было повзрослеть.

Трубы потоньше или потолще

В то время я еще верил, что логика нужна, чтобы думать. У меня не получалось думать логически, но я считал, что проблема во мне. Я полагал, что сумею решить эту проблему, изучая математику, и что первый этап заключается в том, чтобы избавиться от этих наивных и неверных мысленных образов.

Но среди всех этих неверных образов, среди всех посторонних мыслей, от которых я стремился избавиться, я с удивлением обнаружил образ, не настолько ложный, как все остальные.

При изучении векторных пространств также изучаются понятия размерности, линейного отображения, уровня, ядра… Обычно векторные пространства отмечаются буквами, а линейные отображения – стрелками, соединяющими эти буквы. Но когда я решал представить себе векторные пространства как емкости побольше или поменьше (в зависимости от их размерности), а линейные отображения – как трубы потоньше или потолще (в зависимости от уровня), все упражнения на эти понятия становились очевидными.

Это было не таким уж большим достижением. Оставалось еще множество тем и множество упражнений, которые мне не давались. Но упражнения по этой теме я не просто умел решать – они стали настолько же очевидными, как то, что 1 000 000 000 – 1 = 999 999 999. Настолько очевидными, что казалось нелепым, что их вообще задают, и еще более нелепым – что есть люди, которые не умеют их решать.

Образ труб упрощал мне жизнь, но откуда он взялся? Предполагается, что я и должен был так действовать? А что происходит в голове у других? Как они себе представляют математические понятия?

Я помню, как растерянно смотрел на одноклассников, вглядываясь в их лица в попытке найти признаки того, что происходило у них в голове.

И я в замешательстве осознал, что не имею об этом ни малейшего представления.

Огромная проблема

Никто не объяснил нам, что должно происходить у нас в голове, и это стало огромной проблемой.

Я понимал, что есть два принципиально разных способа воспринимать образование, которое мы получали, и эти два подхода несовместимы друг с другом.

Первый подход заключается в том, чтобы считать математику видом знания. Математические утверждения – это информация, которую надо знать и уметь воспроизводить. Нужно учить определения, учить теоремы, учить доказательства.

Второй заключается в том, чтобы отказаться учить. Он подходит к математике как к чувственному опыту. Единственная задача математических утверждений – вызывать к жизни мысленные образы, и только эти мысленные образы позволяют понимать. Как только у нас получаются правильные мысленные образы, все остальное становится очевидным.

Эти два подхода несовместимы, потому что подразумевают совершенно разные мысленные действия. Выучить наизусть, согласиться поверить тому, чего не понимаешь, – все это есть только в первом подходе. Во втором мы смотрим на то, чего не понимаем, с подозрением и недоверием: «Даже так? Вот так оно и есть? Невероятно! Но как это возможно? Как мне удается это увидеть?»