Читаем Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики полностью

Недостаточно заявить, что математика – вопрос интуиции. Еще нужно объяснить, что эта интуиция нам подвластна, и объяснить методы, позволяющие ее развить. Ничто так не пугает, как миф о какой-то математической интуиции, которая якобы имеет особую природу и дарована лишь избранным.

Математическая интуиция – это та же самая интуиция, которой мы пользуемся изо дня в день, но развитая и укрепленная столкновением с языком и логикой. Это то, чем становится наша интуиция, когда мы прекращаем считать, что это дар небес, и обзаводимся способами систематически развивать ее. Мне часто казалось, что математическая работа сродни садоводческой. Пропалываешь, сажаешь, обрезаешь, поливаешь. Кажется, что ничего не растет, но в конце концов констатируешь – что-то все же выросло.

Трудно поверить, что можно оттолкнуться от нашего обычного восприятия пространства и развить его до степени, когда инстинктивно умеешь мыслить в любой размерности. И все же это так.

За нашими ложными верованиями в математический интеллект, за суевериями и запретами прячется глубинное непонимание мощи нашей умственной пластичности и законов, которые правят ею. Это тема следующей главы.

Нежелание математического образования затрагивать эту область личностного развития остается для меня загадкой. Как будто преподаватели не чувствуют себя вправе об этом говорить. Мало кто осмеливается описать свою интуицию простыми словами и признаться в неимоверной наивности своих мысленных образов.

И все же некоторые математики из числа величайших признаются в этом с обескураживающим спокойствием. Ярким примером может служить Пьер Делинь.

Пьер Делинь – необыкновенный математик, самый известный из учеников Гротендика, вплоть до того, что последний однажды сказал о Делине: «Он сильнее меня». В 1978 году он получил Филдсовскую премию (за доказательство знаменитых гипотез Вейля), а в 2013 году – Абелевскую.

В одном интервью 2013 года по случаю вручения Абелевской премии Делиня спросили о его необыкновенной интуиции и способности выработать глубинное понимание абстрактных структур в высокой размерности. Вот что, в частности, он ответил:

«Важно уметь угадать, что верно, а что нет».

«Я не помню доказанные математические утверждения. Я, скорее, стараюсь собрать в уме коллекцию образов. Не один образ. Они все неверны, но по-разному, и я знаю, в чем именно они неверны».

«Образы очень просты. Я могу нарисовать у себя в голове что-нибудь вроде круга в плоскости и прямую, которая движется и смахивает его».

«Это всегда очень простые образы, но собранные воедино».

Математическая интуиция настолько банальна, проста и глупа, что нужно много уверенности в себе, чтобы осмелиться не выбрасывать ее на свалку. Когда ты уже не ребенок, хочется лишь одного – заставить ее замолчать. Именно это чуть не случилось со мной, когда я решил, что должен избавиться от глупых идей и посторонних мыслей.

Тот тихий робкий голос, который говорит вам, что вы не понимаете, и есть ваша математическая интуиция. Не путайте его с другим, грубым и шумным, который говорит вам, что вы ни на что не годны. Тихий голос пытается направлять вас. Его и надо слушать с самым пристальным вниманием. О нем и надо заботиться. Его и надо защищать до конца ваших дней.

Глава 10

Научиться видеть

Когда я размышляю о геометрических объектах в высокой размерности, я довольно четко воспринимаю их зрительно. Но я вижу их не так, как объекты физического мира. По-настоящему я вижу только некоторые их аспекты, фрагменты, интересующие меня детали. Остальное мне увидеть не удается. Но я смутно чувствую их присутствие всем телом.

Видеть в размерности 4 или 5 так же, как в размерности 3, считается невозможным.

И все же Билл Тёрстон это умел. Эта невероятная способность встречается исключительно редко. Она неизбежно вызывает восхищение, в том числе в математических кругах, где он стал легендой благодаря ей.

Естественно, это вызывает в нас робость. Возникает искушение воспринять это как доказательство, что великие математики – иные существа, чей мозг биологически превосходит наш. Но, зная историю жизни Тёрстона, понимаешь, что гипотеза о сверхъестественном даре

не выдерживает критики. Это не история инопланетянина, с рождения наделенного сверхъестественной способностью видеть мир в пяти измерениях.

Все с точностью до наоборот. Это история маленького мальчика, родившегося с отклонением, которое в первые годы жизни помешало ему видеть мир в трех измерениях.


Билл Тёрстон в детстве[15]


Тёрстон страдал сильным врожденным косоглазием. Поля зрения его глаз не пересекались. Глядя на предмет, он мог видеть его только каждым глазом отдельно. Две картинки не могли слиться, что лишало его всякой возможности напрямую воспринимать глубину и рельеф.

К счастью, у него была великодушная и волевая мать, которая выхаживала сына с любовью, энергично помогая ему преодолеть проблему. Когда сыну было два года, она часами сидела с ним, показывала специальные книги с разными цветами и орнаментами, так начался долгий путь переучивания Тёрстона.

Перейти на страницу:

Похожие книги

История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных
История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Эта книга, по словам самого автора, — «путешествие во времени от вавилонских "шестидесятников" до фракталов и размытой логики». Таких «от… и до…» в «Истории математики» много. От загадочных счетных палочек первобытных людей до первого «калькулятора» — абака. От древневавилонской системы счисления до первых практических карт. От древнегреческих астрономов до живописцев Средневековья. От иллюстрированных средневековых трактатов до «математического» сюрреализма двадцатого века…Но книга рассказывает не только об истории науки. Читатель узнает немало интересного о взлетах и падениях древних цивилизаций, о современной астрономии, об искусстве шифрования и уловках взломщиков кодов, о военной стратегии, навигации и, конечно же, о современном искусстве, непременно включающем в себя компьютерную графику и непостижимые фрактальные узоры.

Ричард Манкевич

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Математика / Научпоп / Образование и наука / Документальное
Происхождение эволюции. Идея естественного отбора до и после Дарвина
Происхождение эволюции. Идея естественного отбора до и после Дарвина

Теория эволюции путем естественного отбора вовсе не возникла из ничего и сразу в окончательном виде в голове у Чарльза Дарвина. Идея эволюции в разных своих версиях высказывалась начиная с Античности, и даже процесс естественного отбора, ключевой вклад Дарвина в объяснение происхождения видов, был смутно угадан несколькими предшественниками и современниками великого британца. Один же из этих современников, Альфред Рассел Уоллес, увидел его ничуть не менее ясно, чем сам Дарвин. С тех пор работа над пониманием механизмов эволюции тоже не останавливалась ни на минуту — об этом позаботились многие поколения генетиков и молекулярных биологов.Но яблоки не перестали падать с деревьев, когда Эйнштейн усовершенствовал теорию Ньютона, а живые существа не перестанут эволюционировать, когда кто-то усовершенствует теорию Дарвина (что — внимание, спойлер! — уже произошло). Таким образом, эта книга на самом деле посвящена не происхождению эволюции, но истории наших представлений об эволюции, однако подобное название книги не было бы настолько броским.Ничто из этого ни в коей мере не умаляет заслуги самого Дарвина в объяснении того, как эволюция воздействует на отдельные особи и целые виды. Впервые ознакомившись с этой теорией, сам «бульдог Дарвина» Томас Генри Гексли воскликнул: «Насколько же глупо было не додуматься до этого!» Но задним умом крепок каждый, а стать первым, кто четко сформулирует лежащую, казалось бы, на поверхности мысль, — очень непростая задача. Другое достижение Дарвина состоит в том, что он, в отличие от того же Уоллеса, сумел представить теорию эволюции в виде, доступном для понимания простым смертным. Он, несомненно, заслуживает своей славы первооткрывателя эволюции путем естественного отбора, но мы надеемся, что, прочитав эту книгу, вы согласитесь, что его вклад лишь звено длинной цепи, уходящей одним концом в седую древность и продолжающей коваться и в наше время.Само научное понимание эволюции продолжает эволюционировать по мере того, как мы вступаем в третье десятилетие XXI в. Дарвин и Уоллес были правы относительно роли естественного отбора, но гибкость, связанная с эпигенетическим регулированием экспрессии генов, дает сложным организмам своего рода пространство для маневра на случай катастрофы.

Джон Гриббин , Мэри Гриббин

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Научно-популярная литература / Образование и наука
Древний Египет
Древний Египет

Прикосновение к тайне, попытка разгадать неизведанное, увидеть и понять то, что не дано другим… Это всегда интересно, это захватывает дух и заставляет учащенно биться сердце. Особенно если тайна касается древнейшей цивилизации, коей и является Древний Египет. Откуда египтяне черпали свои поразительные знания и умения, некоторые из которых даже сейчас остаются недоступными? Как и зачем они строили свои знаменитые пирамиды? Что таит в себе таинственная полуулыбка Большого сфинкса и неужели наш мир обречен на гибель, если его загадка будет разгадана? Действительно ли всех, кто посягнул на тайну пирамиды Тутанхамона, будет преследовать неумолимое «проклятие фараонов»? Об этих и других знаменитых тайнах и загадках древнеегипетской цивилизации, о версиях, предположениях и реальных фактах, читатель узнает из этой книги.

Борис Александрович Тураев , Борис Георгиевич Деревенский , Елена Качур , Мария Павловна Згурская , Энтони Холмс

Культурология / Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / История / Детская познавательная и развивающая литература / Словари, справочники / Образование и наука / Словари и Энциклопедии