Недостаточно заявить, что математика – вопрос интуиции. Еще нужно объяснить, что эта интуиция нам подвластна, и объяснить методы, позволяющие ее развить. Ничто так не пугает, как миф о какой-то математической интуиции, которая якобы имеет особую природу и дарована лишь избранным.
Математическая интуиция – это та же самая интуиция, которой мы пользуемся изо дня в день, но развитая и укрепленная столкновением с языком и логикой. Это то, чем становится наша интуиция, когда мы прекращаем считать, что это дар небес, и обзаводимся способами систематически развивать ее. Мне часто казалось, что математическая работа сродни садоводческой. Пропалываешь, сажаешь, обрезаешь, поливаешь. Кажется, что ничего не растет, но в конце концов констатируешь – что-то все же выросло.
Трудно поверить, что можно оттолкнуться от нашего обычного восприятия пространства и развить его до степени, когда инстинктивно умеешь мыслить в любой размерности. И все же это так.
За нашими ложными верованиями в математический интеллект, за суевериями и запретами прячется глубинное непонимание мощи нашей умственной пластичности и законов, которые правят ею. Это тема следующей главы.
Нежелание математического образования затрагивать эту область личностного развития остается для меня загадкой. Как будто преподаватели не чувствуют себя вправе об этом говорить. Мало кто осмеливается описать свою интуицию простыми словами и признаться в неимоверной наивности своих мысленных образов.
И все же некоторые математики из числа величайших признаются в этом с обескураживающим спокойствием. Ярким примером может служить Пьер Делинь.
Пьер Делинь – необыкновенный математик, самый известный из учеников Гротендика, вплоть до того, что последний однажды сказал о Делине: «Он сильнее меня». В 1978 году он получил Филдсовскую премию (за доказательство знаменитых гипотез Вейля), а в 2013 году – Абелевскую.
В одном интервью 2013 года по случаю вручения Абелевской премии Делиня спросили о его необыкновенной интуиции и способности выработать глубинное понимание абстрактных структур в высокой размерности. Вот что, в частности, он ответил:
«Важно уметь угадать, что верно, а что нет».
«Я не помню доказанные математические утверждения. Я, скорее, стараюсь собрать в уме коллекцию образов. Не один образ. Они все неверны, но по-разному, и я знаю, в чем именно они неверны».
«Образы очень просты. Я могу нарисовать у себя в голове что-нибудь вроде круга в плоскости и прямую, которая движется и смахивает его».
«Это всегда очень простые образы, но собранные воедино».
Математическая интуиция настолько банальна, проста и глупа, что нужно много уверенности в себе, чтобы осмелиться не выбрасывать ее на свалку. Когда ты уже не ребенок, хочется лишь одного – заставить ее замолчать. Именно это чуть не случилось со мной, когда я решил, что должен избавиться от глупых идей и посторонних мыслей.
Тот тихий робкий голос, который говорит вам, что вы не понимаете, и есть ваша математическая интуиция. Не путайте его с другим, грубым и шумным, который говорит вам, что вы ни на что не годны. Тихий голос пытается направлять вас. Его и надо слушать с самым пристальным вниманием. О нем и надо заботиться. Его и надо защищать до конца ваших дней.
Глава 10
Научиться видеть
Когда я размышляю о геометрических объектах в высокой размерности, я довольно четко воспринимаю их зрительно. Но я вижу их не так, как объекты физического мира. По-настоящему я вижу только некоторые их аспекты, фрагменты, интересующие меня детали. Остальное мне увидеть не удается. Но я смутно чувствую их присутствие всем телом.
Видеть в размерности 4 или 5 так же, как в размерности 3, считается невозможным.
И все же Билл Тёрстон это умел. Эта невероятная способность встречается исключительно редко. Она неизбежно вызывает восхищение, в том числе в математических кругах, где он стал легендой благодаря ей.
Естественно, это вызывает в нас робость. Возникает искушение воспринять это как доказательство, что великие математики – иные существа, чей мозг биологически превосходит наш. Но, зная историю жизни Тёрстона, понимаешь, что гипотеза о
Все с точностью до наоборот. Это история маленького мальчика, родившегося с отклонением, которое в первые годы жизни помешало ему видеть мир в трех измерениях.
Билл Тёрстон в детстве[15]
Тёрстон страдал сильным врожденным косоглазием. Поля зрения его глаз не пересекались. Глядя на предмет, он мог видеть его только каждым глазом отдельно. Две картинки не могли слиться, что лишало его всякой возможности напрямую воспринимать глубину и рельеф.
К счастью, у него была великодушная и волевая мать, которая выхаживала сына с любовью, энергично помогая ему преодолеть проблему. Когда сыну было два года, она часами сидела с ним, показывала специальные книги с разными цветами и орнаментами, так начался долгий путь переучивания Тёрстона.
Борис Александрович Тураев , Борис Георгиевич Деревенский , Елена Качур , Мария Павловна Згурская , Энтони Холмс
Культурология / Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / История / Детская познавательная и развивающая литература / Словари, справочники / Образование и наука / Словари и Энциклопедии