Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Решением неравенства cos (/₄ - x) 3/4 будут значения x - /₄, лежащие между 2k - arccos 3/4 x 2k + arccos 3/4 .

Ответ. 2k + /₄ - arccos 3/4 x  2k + /₄ + arccos 3/4 .

14.12. Перепишем неравенство в виде

Преобразуем знаменатель

cos x cos 3x = 1/2 (cos 2x + cos 4x) = 1/2 (cos 2x + 2 cos^2 2x - 1)

и введем обозначение cos 2 x = y. Получим

откуда y -1, 0 y   1/2 и, наконец, 0 cos 2x 1/2 .

Ответ: -/₄ + n x -/₆ + n; /₆ + n x /₄ + n.

14.13. Пусть y = cos x, где |y| = 1. Выражение ¹⁷/₇ - cos x всегда положительно. Поэтому обе части данного неравенства можно возвести в квадрат; получим равносильное неравенство

Когда правая часть отрицательна, придем к системе

решением которой будут значения y ⁵/₁₄

·

Когда правая часть неотрицательна, то получим другую систему

Второе неравенство этой системы можно переписать в виде

2 · 49у^2 - 7 · 27у + 25 0,

откуда

¹/₇ y ²⁵/₁₄,    т. е. y ¹/₇,    так как  y = cos x.

Решения всей системы будут лежать в интервале

¹/₇ y = ⁵/₁₄

Объединяя его с интервалом y ⁵/₁₄, получим y ¹/₇·

Ответ.  -arccos ¹/₇ + 2n x arccos ¹/₇ + 2n.

14.14. Выразим sin x и cos x через tg ^x/₂ и обозначим tg ^x/₂ = y. Придем к неравенству

которое равносильно исходному. В самом деле, замена sin x и cos x их выражениями через tg ^x/₂ может привести к потере решений, так как tg ^x/₂ перестает существовать в тех точках, в которых sin x и cos x существуют Однако tg ^x/₂ входит в первоначальное неравенство, а потому эти точки исключены с самого начала. Сокращение числителя и знаменателя на y^2 + 1, очевидно, не приводит ни к потере, ни к приобретению корней, так как y

^2 + 1 /= 0 и y не исчез полностью из неравенства.

Неравенство относительно y перепишем в виде

После разложения левой части на множители получим

откуда 

Находим интервалы изменения x:

Остается выделить решения, лежащие в интервале 0 x .

Ответ.

14.15. Выразив sin 3 и cos 2 через sin  и обозначив sin  = y, получим

4(3y - 4у^3) + 5 >= 4 - 8у^2 + 5у,

или

16у^3 - 8у^2 - 7у - 1 = 0.

Нетрудно заметить, что y = 1 — корень многочлена, стоящего в левой части неравенства. Теперь можно разложить этот многочлен на множители:

16у^3 - 8у^2 - 7у - 1 = (y - 1)(4у + 1)^2.

Так как y = sin , то y - 1 = 0, а следовательно, и многочлен 16у^3 - 8у^2 - 7y - 1 неположителен, что доказывает неравенство.

14.16. Значения x = k, при которых sin x = 0, являются решениями неравенства при всех а 0. На множестве остальных точек данное неравенство равносильно такому:

Так как

(сокращение на sin x правомерно, так как рассматриваются точки, в которых sin x /= 0), то приходим к неравенству:

(1 + 2cos 2x)^2 >= а^2.

Так как а 0, то это неравенство распадается на два:

1 + 2cos 2x = -а, 1 + 2cos 2x >= а,

т. е.

cos 2x = -^a + 1/₂, cos 2x >= ^a - 1/₂.

Первое имеет решения при - ^{a + 1}/₂ >= -1, а второе — при ^a - 1/₂

 = 1 или соответственно а = 1 и а = 3.

Найдем решение неравенства cos 2x = -^a + 1/₂. Так как а 0, то правая часть неравенства отрицательна и при а 1 ему будут удовлетворять углы 2x, подвижные радиусы которых лежат в секторе, расположенном во второй и третьей четвертях симметрично горизонтальной оси (сделайте рисунок самостоятельно), т. е.

arccos (-^{a + 1}/₂) + 2k = 2x = -arccos (-^a + 1/₂) + 2 + 2k.

Так как arccos (-y) =  - arccos y, то

 - arccos ^{a + 1}/₂ + 2k = 2x = arccos ^a + 1/₂ -  + 2 + 2k.

Результат окончательных преобразований дан в ответе.

Ответ. При любом а 0 y неравенства есть решения x = k; при 0 а = 3 появляется вторая серия решений:

- 1/2 arccos ^{a - 1}/₂ + k = x =  1/2 arccos ^a - 1/₂ + k;

при 0 а = 1 — третья серия:

- 1/2 arccos ^{a + 1}/₂ + /₂(2k + 1) = x = 1/2 arccos ^a + 1/₂ + /₂(2k + 1).

14.17. Обозначим cos t = z и преобразуем условие задачи в неравенство

2z^2 + (2 cos x cos y

)z +  1/2 cos^2 x cos^2 y + cos x - cos y 0,

которое должно удовлетворяться при всех -1 = z = 1. Парабола, соответствующая трехчлену, стоящему в левой части неравенства, имеет абсциссу

z₀ = - 1/2 cos x cos y.

Следовательно, -1 z₀ 1. Таким образом, условие задачи равносильно требованию, чтобы ордината этой вершины была положительна, что в свою очередь сводится к требованию отрицательности дискриминанта:

D = cos^2 x cos^2 y - cos^2 x cos^2 y - 2(cos x - cos y) 0,

т. е.

cos x - cos y 0,    sin ^x + y/₂ sin ^y - x/₂ 0. (2)

Нанесем на график точки, в которых

 sin ^{x + y}/₂ sin ^y - x/₂ = 0.

Это будет совокупность прямых

x + y = 2k,   y - x = 2n,

параллельных биссектрисам первого и второго координатных углов (рис. P.14.17), пересекающих оси координат в точках, координаты которых кратны 2. Сами эти прямые не удовлетворяют неравенству (2), однако они разбивают всю плоскость на квадраты, внутри каждого из которых произведение sin ^{y + x}/₂ sin ^y - x/₂ сохраняет постоянный знак.

Рассмотрим квадрат ОАВС, примыкающий к началу координат снизу. Для всех внутренних точек этого квадрата

sin ^{y + x}/₂ 0 и sin ^y - x/₂ 0,