Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

k^2x^2 + kx - 2

будут действительными и один корень по абсолютной величине будет больше 1, а другой по абсолютной величине будет меньше 1?

10.18. Найдите все действительные значения m, для которых неравенство

тx^2 - 4x + 3m + 1 0

удовлетворяется при всех положительных значениях x.

Решите неравенства:

10.19. |x^2 - 2x - 3| 3x - 3.

10.20. |x - 3| |x + 2|.

10.21.

10.22.

10.23.

10.24.

10.25.

10.26.

10.27. 4^x = 3 · 2^x + x + 4^x+1.

10.28. 4x^2 + 3^x +1 + x · 3^x 2x^2 · 3^x + 2x + 6.

10.29[10].

Решите неравенства:

10.30. (4x^2 + 12x + 10)^|x^3 - 5x + 2| >= (4x^2 + 12x + 10)^x - 2.

10.31.x^log_аx +1 а^2x.

10.32

[11].

10.33.

10.34.

10.35.

10.36. log₂ (2^x - 1) log _1/2 (2^x + 1 - 2) -2.

10.37. log_|x + 6| 2 · log₂(x^2 - x - 2) >= 1.

10.38.

10.39. log_kxx + log_x(kx^2) 0, где 0  k 1.

10.40. log_x[log₂(4^x - 6)] = 1.

10.41.

10.42.

10.43. |2 |x| - 1| · 1ох₂ (2 - 2x^2) 1.

10.44.

10.45. log_x^2 - 1 (3x - 1) log_x^2 - 1 x^2.

10.46.

10.47. При каких значениях у верно следующее утверждение: «Существует хотя бы одно значение x, при котором удовлетворяется неравенство

2 log_0,5 y^2 - 3 + 2x  log_0,5 y^2 - x^2 0»?

10.48. При каких значениях а из неравенства

x^2 - а(1 + а^2)x + а⁴

0

следует неравенство

x^2 + 4x + 3 0?

10.49. Для каждого действительного а решите неравенство

10.50. Решите неравенство

(x^2 + 8x + 15)2^{2 + x} x^2 + 7x + 10.

10.51. Определите, какие из чисел -4, -1, 1, 4 являются решениями неравенства

|0,5 - lg 5|x = 0,5 - lg 5.

10.52. Решите неравенство

(5 - 2)^{x - 6} = (5 + 2)^x.

10.53. Решите неравенство

Глава 11

Логарифмические и показательные уравнения и системы

Если а^р, где а и p — действительные числа, существует, то

|a| = |а|^p       (1)

По определению log_а N есть число, удовлетворяющее равенству

где а 0 и а /= 1.

Формулы

(2)

называются формулами потенцирования. Первые две являются неабсолютными тождествами (см. введение к главе 9); при четных n и третья формула оказывается неабсолютным тождеством. Применение этих формул при решении уравнений (под применением формулы мы понимаем замену в уравнении выражения, стоящего в ее левой части, на выражение, стоящее справа) может привести только к приобретению посторонних решений.

Формулы (2), прочитанные справа налево, называются формулами логарифмирования. Чтобы формулы логарифмирования не приводили к потере решений, ими пользуются в виде

log_а хy = log_а |x| + log_а |y|;

log_а ^x/_y = log_а |x| - log_а |y|;

log_а x^2k = 2k log_а |x| (k — целое, k /= 0).

Следующие формулы позволяют переходить от логарифма с одним основанием к логарифму с другим основанием:

Если в третьей из этих формул n = 2k, то в правой части нужно писать вместо основания а основание |а|.

Формула

(3)

является неабсолютным тождеством, так как ее правая часть перестает существовать при f(x) = 1, в то время как левая часть при соответствующих значениях x может существовать и обращаться в нуль.

Таким образом, применение формулы (3) может привести к потере решений, при которых f(x) = 1.

При решении уравнений вида

(x)^f(x) = (x)^g(x)       (4)

нужно воспользоваться условием равенства показателей: если (x) /= -1, 0, +1, то следствием уравнения (4) является уравнение

f(x) = g(x).           (5)

Пусть x = а — корень уравнения (4). Тогда

(а)^f(а) = (а)^g(а).

В силу (1) можно записать, что

|(а)|^f(а) = |(а)|^g(а).

Так как |(x)| /= 0, 1 и |(x)| 0, то по свойству показательной функции имеем

f(а) = g(а),

т. е. x = а — корень уравнения (5).

Случаи, когда (x) равно -1, 0 или 1, нужно рассмотреть отдельно.

Решая уравнение (4), следует иметь в виду, что выражения вида ⁰/₀ и 0⁰ не имеют смысла.

11.1. Найдите log₅ 6, если lg 2 = а, lg 3 = b.

11.2. Найдите lg 122,5, если lg 5 = а, lg 7 = b.

11.3. Решите уравнение

11.4. Для каждого действительного числа а решите уравнение

9^{-|x - 2|} - 4 · 3^-|x - 2| - a = 0.

11.5. Для каждого действительного числа а решите уравнение

144^|x| - 2 · 12^|x| + а = 0.

Решите уравнения:

11.6.

11.7.

11.8.

11.9.

11.10. log₃(3^x - 1) log₃ (3^x + 1 - 3) = 6.

11.11.

11.12.

11.13.

11.14.

11.15. log_0,5xx^2 - 14 log_16xx^3 + 40 log_4xx = 0.

11.16.

11.17.

11.18.

11.19.  где а 0, а /= 1.

11.20. Найдите неотрицательные решения системы уравнений

Решите системы уравнений:

11.21.

11.22.

11.23.

11.24.

11.25. 

11.26.

11.27.

11.28.

11.29.

11.30.

Глава 12

Тригонометрические преобразования 

Основные тригонометрические формулы.

1. Зависимости между тригонометрическими функциями: