Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

13.24. 4 cos x - 2 cos 2x - cos 4x = 1.

13.25.

13.26. sin^3 x + cos^3 x = 1.

13.27. cos^2 3x +  1/4 cos^2 x = cos 3x cos⁴ x.

13.28. При каких значениях а уравнение

1 + sin^2 ax = cos x

имеет единственное решение?

Решите системы:

13.29.

13.30.

13.31.

13.32.

13.33.

13.34.

13.35.

13.36.

13.37.

13.38.

13.39. Найдите все пары чисел x, у, которые удовлетворяют уравнению

tg⁴ x + tg⁴ у + 2 ctg^2 x ctg^2 у = 3 + sin^2 (x + у).

13.40. Решите уравнение

sin^2 x +  1/4 sin^2 3x = sin x sin^2 3x.

13.41. Решите уравнение

cos x + cos у - cos (x + у) = ³/₂.

13.42. Найдите все пары чисел а и b, при которых для любых x и у, удовлетворяющих условию

x + у = а  (где x /= /₂ + n, у /= /₂ + n, n, m = 0, ±1, ±2, ...), верно равенство tg x + tg у + tg x tg у = b.

13.43. Найдите все пары чисел x и у, которые удовлетворяют уравнению

13.44. Решите уравнение

sin x + 2 sin 2x = 3 + sin 3x.

13.45. Решите уравнение

sin x (cos ^x/₄ - 2 sin x) + cos x (1 + sin ^x/₄ - 2 cos x) = 0

13.46. Решите уравнение

13.47. Найдите все значения x, удовлетворяющие одновременно следующим уравнениям:

cos 6х + cos 8х = 0,     cos Зх = 2 sin^2 2х

при условии, что |x| 5.

13.48. Решите уравнение

13.49. Решите уравнение

13.50. Решите уравнение

2 tg x + tg ^x/₂ + 4 ctg 2х = ctg Зх.

13.51. Решите уравнение

Глава 14

Тригонометрические неравенства

Решите неравенства:

14.1. |sin x| |cos x|.

14.2. 1 - sin x + cos x 0.

14.3. sin x - З cos x 0.

14.4. 2 cos 2х + sin 2х tg x.

14.5. cos x tg 2х = 0.

14.6.

6 + cos 2х + 13 cos x >= |5 - 2 cos 2х - 6 sin^2 x - З cos x|.

14.7. Найдите решения неравенства

sin 2х 2 sin^2 x + (2 - 2) cos^2 x,

лежащие в интервале (0, 2).

14.8. При каких значениях , 0 =  = , уравнение

2х^2 - 2(2 cos  - 1)x + 2 cos^2  - 5 cos  + 2 = 0 имеет различные действительные корни? Исследуйте знаки корней.

Решите неравенства:

14.9.

14.10.

14.11.

14.12. tg x tg 3x -1.

14.13.

14.14. Найдите все значения x из интервала 0 x , удовлетворяющие неравенству

14.15. Докажите, что при любом а имеет место неравенство

4 sin 3 + 5 >= 4 cos 2 + 5 sin .

14.16. Решите неравенство

a^2 sin^2 x = sin^2 3x,    а 0.

14.17. При каких значениях x и у выражение

(2 cos t +  1/2 cos x cos у ) cos x cos у + 1 + cos x - cos у + cos 2t

положительно при всех значениях t? Укажите, где на координатной плоскости расположены точки (x, у), удовлетворяющие этому условию.

Глава 15

Трансцендентные неравенства

Решите неравенства:

15.1. (log_{sin x} 2)^2 log_{sin x} (4 sin^3 x).

15.2.

15.3. Найдите решения неравенства

log₂ cos x log₂ tg x,

удовлетворяющие условию 0 = x = .

Решите неравенства:

15.4. 4 log₁₆ cos 2х + 2 log

₄ sin x + log₂ cos x + 3 0.

15.5. log_{|cos x} + 3 sin x| 1/2 0, если 0 = x = 2.

15.6. sin |lg x| + cos |lg x|  - ¹/₂.

15.7.

15.8. arctg x arccos (1 - x).

15.9. (4х - x^2 - 3) log₂ (cos^2 х + 1) >= 1.

15.10.

Глава 16

Трансцендентные уравнения

16.1. Докажите, что уравнение

2 sin^2 ^x/₂ sin^2 ^x/₆ = ¹/_x^2 + x^2

не имеет корней.

Решите уравнения:

16.2.

16.3. (tg x)^{sin x} = (ctg x)^{cos x}.

16.4. sin (2^х - 1 + 2^х - 2) cos (2^х - 1 + 2^х - 2) = 1/4 .

16.5. lg sin x + lg sin 5х = lg sec 4х.

16.6. lg^2 (sin x + 4) + 2 lg (sin x + 4) - ⁵/₄ = 0.

16.7. log_{sin x} (sin x - 1/4 cos x) = 3.

16.8. log_{8 cos^2 x} sin x = 1/2 .

16.9. Найдите положительные решения уравнения

tg [ 5( 1/2 )^x] = 1.

16.10. Решите уравнение

lg^2 cos x

+ 2 lg cos x + m^2 + 2m - 3 = 0.

16.11. Для каждого действительного числа а решите уравнение

lg^2 sin x - 2а lg sin x - а^2 + 2 = 0.

16.12. Решите систему уравнений

16.13. Решите уравнение

4^{sin^2 x} + 4^{cos^2 x} = -8x^2 + 12|x| -  1/2 .

16.14. Решите уравнение

Глава 17

Функции и их свойства

17.1. Решите неравенство

4f(x) + g(x) = 0,

если функции f(x) и g(x) удовлетворяют системе

17.2. Сколько различных действительных корней имеет уравнение f(f(x)) = 0, где f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x?

17.3. Найдите все целые x и у, удовлетворяющие системе

17.4. Решите систему уравнений

17.5. Дана функция f(x) = 6х^2 + 2х + 6. Известно, что ее график касается графика первообразной F(x) этой функции в точке, абсцисса которой превосходит число 0,7. Найдите все значения x, для которых

17.6. Изобразите на плоскости (x, у) множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству

log_{(x - у)}(x + у) >= 1.

17.7. Найдите площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств

17.8. На координатной плоскости заданы точки A(0; 2), B(1; 7), С(10; 7) и D(7; 1). Найдите площадь пятиугольника ABCDE, где E — точка пересечения прямых AC и BD.

17.9. Фигура задана на координатной плоскости системой

Сколько интервалов на прямой у = 2 - x образует ортогональная проекция данной фигуры на эту прямую?