Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

2. Тригонометрические функции суммы и разности аргументов:

sin (x ± у) = sin x cos у ± sin у cos x,

cos (x ± у) = cos x cos у ± sin x sin у,

3. Функции двойного и тройного аргумента:

sin 3х = 3 sin x - 4 sin^3 x,     cos 3х = 4 cos^3 x - 3 cos x.

4. Формулы понижения степени для синуса и косинуса:

5. Функции половинного аргумента:

6. Преобразование суммы функций в произведение:

7. Преобразование произведения функций в сумму:

sin x cos y = 1/2 [sin (x - y) + sin (x + y)],

cos x cos y = 1/2 [cos (x - y) + cos (x + y)],

sin x sin y = 1/2 [cos (x - y) - cos (x + y)].

Все формулы нужно уметь читать не только «слева направо», но и «справа налево». Так, например, в записи sin /₄ cos x - cos 

/₄ sin x нужно узнавать sin (/₄ - x), а не принимать ошибочно за sin (x - /₄), а в записи  узнавать ctg ^x/₂.

Проверьте себя и напишите, чему равно выражение  Если вы убеждены в том, что это выражение равно тангенсу половинного угла, обратите внимание на то обстоятельство, что выражение, о котором идет речь, неотрицательно, а тангенс половинного угла — знакопеременная функция. Таким образом,

и не следует писать в этом случае ±tg x. То же самое рассуждение можно провести для любой из приведенных выше формул, где перед корнем стоит ±. Мы ставим ±, чтобы «примирить» выражение, стоящее в левой части, которое может быть отрицательным, с неотрицательным корнем. Поставив ±, мы не получаем двузначную функцию; этот символ говорит лишь о том, что для каждого фиксированного x мы обязаны выбрать определенный знак, в зависимости от того, в какой четверти тригонометрического круга оказывается угол, стоящий под знаком функции в левой части формулы.

12.1. Упростите выражение

12.2. Докажите тождество

tg 2 tg (30° - ) + tg 2 tg (60° - ) + tg (60° - ) tg (30° - ) = 1.

12.3. Докажите тождество

12.4. Докажите, что tg ( + ) = 2 tg , если

sin  cos ( + ) = sin  и +  /= /₂(2n + 1),  /= /₂(2n + 1), .

12.5. Вычислите без таблиц 

cos /₇ cos ²/₇ cos ⁴/₇.

12.6. Вычислите без таблиц

tg /₇ tg ²/₇ tg ³/₇.

12.7. Докажите, что если  и  то при аВ + bA /= 0

12.8. Докажите, что если |sin x| = |k sin у|, где -1 = k = 1, то произведение sin (x

+ у) sin (x - у) неположительно.

12.9. Докажите, что если sin  + sin  = а, cos  + cos  = b, то

12.10. Дано

2 tg^2  tg^2  tg^2  + tg^2 tg^2 + tg^2 tg^2 + tg^2 tg^2  = 1.

Вычислите sin^2  + sin^2 + sin^2 .

12.11. Углы , ,  образуют арифметическую прогрессию с разностью /₃ . Вычислите

А = tg  tg  + tg  tg  + tg  tg .

12.12. Сумма трех положительных чисел ,  и  равна /₂. Вычислите произведение ctg  ctg , если известно, что ctg , ctg  и ctg  образуют арифметическую прогрессию.

12.13. Вычислите без калькулятора и без таблиц

sin 106° + cos 106° ctg 8°.

Глава 13

Тригонометрические уравнения и системы

Простейшие тригонометрические уравнения.

sin x = а, x = n + (-1)ⁿ arcsin а, |а| = 1,

cos x = а, x = 2n ± arccos а, |а| = 1,

tg x = а, x = n + arctg а,

ctg x = а, x = n + arcctg а.

Во всех формулах n — произвольное целое число, т. е. n = 0; ±1; ±2; ±3; ... .

Решения уравнения sin x =

а часто удобно записывать в виде двух серий корней:

x = 2n + rсsin а,    x = (2n + 1) - arcsin а.

Хотя приведенные формулы для решений уравнений sin x = а и cos x = а верны при всех значениях а, удовлетворяющих указанным справа ограничениям, при некоторых а эти формулы дают неудобный ответ.

Так, например, если к уравнению sin x = 1 применить общую формулу, то получим

x = n + (-1)ⁿ /₂.

При n = 2k получим x = 2k + /₂, а при n = 2k + 1 получим x = 2k +  - /₂ = 2k + /₂. При четном и нечетном n мы пришли к одинаковому ответу. Но этот же ответ можно получить гораздо проще, если не пользоваться общей формулой. Достаточно заметить, что sin x = 1 тогда и только тогда, когда подвижный радиус вертикален и направлен вверх.

Поэтому целесообразно помнить решения уравнений:

sin x = 0, x = n;      sin x = 1, x = /₂ + 2n;     sin x = -1, x = - /₂

+ 2n;

cos x = 0, x = /₂ + n;      cos x = 1, x = 2n;     cos x = -1, x = (2n + 1);

tg x = 0, x = n;      ctg x = 0, x = /₂ + n.

При решении уравнений удобно пользоваться теоремами: уравнение cos x = cos у равносильно совокупности уравнений x + у = 2k, x - у = 2l; уравнение sin x = sin у равносильно совокупности уравнений x + у = (2k + 1), x - у = 2l. Обратите внимание на то обстоятельство, что в разных уравнениях, входящих в совокупность, вообще говоря, используют разные буквы для обозначения произвольного целого числа. Это следует из того, что уравнения для x + у и для x - у решаются независимо одно от другого. Переход от уравнения tg x = tg у к уравнению x - у = k может привести к приобретению посторонних решений, если tg x и tg у перестают существовать.