Читаем Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы полностью

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Альберт Анатольевич Рывкин , Евгений Борисович Ваховский

Однородные уравнения. Уравнение вида

а₀ sin^k x + а₁ sin^k - 1 x cos x + ...

... + а_k - 1 sin x cos^k - 1 x + а_k cos^k x = 0 (1)

называется однородным, так как все слагаемые его левой части имеют одинаковую степень относительно sin x и cos x.

При ₀ /= 0 среди решений уравнения (1) не содержится значений x, при которых cos x = 0. В самом деле, полагая cos x = 0, мы получаем из уравнения (1): а₀ sin^k x = 0, откуда sin^k x = 0, так как а₀ /= 0 по условию. Но это невозможно, поскольку нет таких значений x, при которых sin x и cos x одновременно обращаются в нуль.

Аналогично при а_к /= 0 среди решений уравнения (1) не содержится значений x, при которых sin x = 0.

Наметим пути решения уравнения (1). Рассмотрим два случая.

Случай 1. a₀ /= 0 и а_k /= 0. В этом случае, разделив уравнение (1) на cos^k x, мы получим (поскольку cos x /= 0) равносильное ему алгебраическое уравнение

а₀у^к + а₁у^k - 1 + ... + а_k_{- 1}у + а_k = 0 (2)

относительно у = tg x.

Можно также делить уравнение (1) на sin^k x. Тогда (поскольку sin x /= 0) мы получим равносильное уравнению (1) алгебраическое уравнение

а₀ + а₁z + ... + а_k_{- 1}z^k^{- 1} + а_kz

^k = 0 (3)

относительно z = ctg x.

Пример 1. Решить уравнение

sin^3 x - 2 sin^2 x cos x - sin x cos^2 x + 2 cos^3 x = 0. (4)

Разделив его на cos^3 x, получим алгебраическое уравнение

у^3 - 2у^2 - у + 2 = 0,

где у = tg x. Последнее уравнение легко решается путем разложения его левой части на множители, и мы находим корни:

у₁ = -1, у₂ = 1, у₃ = 2.

Теперь остается решить совокупность уравнений

tg x = -1, tg x = 1, tg x = 2.

Мы получим следующие корни уравнения (1):

x = n ± /₄ , x = n + arctg 2.

Случай 2. a₀ = 0, или a_k = 0, или а₀ = a_k = 0. Пусть, например, a₀ = a_k = 0, а a₁ /= 0 и a_k_{- 1} /= 0. Тогда уравнение (1) примет вид

a₁ sin^k - 1 x cos x + a₂ sin^k - 2 x cos^2 x + ...

... + a_k_{- 2} sin^2 x cos^k - 2 x + a_k_{- 1} sin x cos^k - 1 x = 0. (5)

В левой части уравнения выносим за скобки все, что возможно (в случае уравнения (5) мы можем вынести за скобки произведение sin x cos x). В результате получим уравнение

sin x cos x (a₁ sin^k - 1 x + a

₂ sin^k - 2 x cos x + ...

... + a_k_{- 2} sin x cos^k - 2 x + a_k_{- 1} cos^k - 1 x) = 0,

распадающееся на совокупность уравнений

sin 2х = 0,

a₁ sin^k - 1 x + a₂ sin^k - 2 x cos x + ...

... + a_k_{- 2} sin x cos^k - 2 x + a_k_{- 1} cos^k - 1 x = 0,

первое из которых решается просто (см. с. 77), а пути решения второго уравнения показаны в случае 1).

Пример 2. Решить уравнение

sin⁴ x cos x - 2 sin^3 x cos^2 x - sin^2 x cos^3 x + 2 sin x cos⁴ x = 0.

Левую часть уравнения разлагаем на множители:

sin x cos x (sin^3 x - 2 sin^2 x cos x - sin x cos^2 x + 2 cos^3 x) = 0. Получаем совокупность уравнений

sin x = 0, cos x = 0,

sin^3 x - 2 sin^2 x cos x - sin x cos^2 x + 2 cos^3 x = 0.

Решения первых двух уравнений даны на с. 77. Третье уравнение подробно рассмотрено в примере 1.

Системы тригонометрических уравнений. Предположим, что, преобразовывая систему тригонометрических уравнений, мы пришли к системе

Если переписать эту систему в виде

то, складывая и вычитая полученные уравнения, придем к выводу, что

Решили ли мы систему? Оказывается, нет. Решить систему — значит, найти все ее решения, а из поля нашего зрения выпало такое очевидное решение как x = ³/₂, у = /₄ (ни при каком целом n из выражения

/₄ + ³ⁿ/₂ нельзя получить ³/₄).

В чем же ошибка? Ошибка очень проста: переходя от первоначальной системы к выражениям относительно x + у и x - у, мы должны были сохранить их «независимость», которая присутствовала в исходной системе. Вместо этого мы «связали» их введением общего целочисленного переменного n.

Правильным было бы такое решение:

откуда

x = /₄ + (2т + n), у = - /₄ - /₂ (2т - n).