Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

9.33. Вначале нужно использовать условие, что система должна иметь только одно решение. Второе уравнение можно рассматривать как четную функцию относительно x и у, т. е. наряду с решением x = x₁, у = у₁ оно имеет три симметричных решения: (-x₁, у₁), (x₁, -у₁), (-x₁, -у₁). Какое из этих решений наряду с (x₁, у₁) будет удовлетворять первому уравнению?

9.34. Второе уравнение можно преобразовать к виду

умножив числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Легко убедиться, что у /= 0. Поэтому можно полученное уравнение разделить на у, после чего нетрудно с помощью первого уравнения системы исключить

9.35. Представить уравнение в виде

|6 - |x - 3| - |x + 1|| = а(x + 5) + 4,

построить график функции, стоящей в левой части равенства, и рассмотреть поведение относительно этого графика прямой у = а(x + 5) + 4 при разных значениях а.

9.36. Обе части нужно возвести в квадрат. Чтобы обеспечить равносильность, в системе с полученным уравнением придется решать неравенство 4x

^2 - 3аx >= 0. При этом выражение под вторым радикалом автоматически будет неотрицательным.

В задачах с параметрами, как правило, нарушать равносильность нецелесообразно. Рассуждения, связанные с ОДЗ, не дают строгого решения.

9.37.x = 0 — корень уравнения. Выражения в знаменателях имеют одинаковую составляющую 5x^2 + 6.

9.38. Это система однородных уравнений, и она решается стандартной подстановкой x + у = u, xу = v.

K главе 10

10.1. Из условия а + b = 2 следует, что числа а и b расположены симметрично относительно единицы. Использовать этот факт.

10.2. Условие а₁а₂...а_n = 1 можно использовать при преобразовании левой части неравенства, умножая или деля ее на произведение а₁а₂...а_n. Поскольку число множителей 1 + а_i совпадает с показателем степени в правой части неравенства и все множители равноправны, то следует доказать, что каждый из них не меньше двух.

10.3. Способ 1. Поделить данное в условии равенство а + b = с почленно на с ^1/3 .

Способ 2. Доказать эквивалентное неравенство:

10.4. Избавиться от дробей и использовать условие 0 = x = 1. Это условие обеспечивает выполнение таких неравенств, как x^k

+ 1 = x^k, 1 - x^k >= 0 при любом натуральном k. (!)

10.5. Оценить каждый корень с помощью неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим двух чисел, взяв в качестве первого числа подкоренное выражение, а в качестве второго единицу.

10.6. Предположить, что b = а, и оценить левую часть данного неравенства, заменив b на а. (!)

10.7. Если бы между правой и левой частями стоял знак равенства, то мы имели бы производную пропорцию от

10.8. Воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим двух чисел.

10.9. Способ 1. Если обозначить три положительных слагаемых в левой части неравенства через u, v и w, то uvw = 1. Следовательно, среди чисел u, v и w есть одно большее единицы и одно меньшее единицы, например, u 1, v 1. Тогда (1 - u)(v - 1) 0.

Способ 2. Если u, v и w — положительные числа, причем w — наименьшее, то u w, v w. Неравенство v w можно умножить на положительное число u - w

и полученное неравенство разделить почленно на uw.

Способ 3. Если с b а, то можно записать, что b = с + d₁, а = b + d₂, где d₁ и d₂ — положительные числа. Подставьте в левую часть неравенства вместо а и b их выражения с + d₁ и b + d₂— соответственно.

10.10. Преобразования удобно начать с записи S по формуле Герона. Величину S нужно оценить так, чтобы прийти к выражению, симметричному относительно а, b и с. Поскольку из четырех множителей p, p - а, p - b, p - с первый удовлетворяет этому требованию (2р = а

+ b + с), следует подвергнуть преобразованиям три других множителя. При этом полезно обратить внимание на то обстоятельство, что их сумма равна p:

p - а + p - b + p - с = 3р - (а + b + с) = p.

10.11. Если перемножить крайние и средние скобки, то получатся два трехчлена, отличающиеся только свободным членом. Это позволяет оценить левую часть, выделив квадрат трехчлена, свободный член которого находится посередине между свободными членами первого и второго трехчленов. (!)

10.12. Данные уравнения симметричны относительно у и z и не симметричны (второе) относительно x. Если воспользоваться вторым уравнением и из первого выразить у + z через x, то мы получим простую систему относительно у и z, где x выступает в роли свободного члена.

10.13. Данные уравнения можно переписать в виде

у + z = 5 - x,    yz + x(z + y) = 8,

после чего можно получить уравнение, корнями которого будут у и z, а коэффициенты будут зависеть от x.

10.14. Нужно рассмотреть три случая, в зависимости от того, положителен, отрицателен или равен нулю дискриминант трехчлена. Затем обратить внимание на знак старшего коэффициента. (!)

10.15. Так как коэффициент при x^2 положителен, то ветви параболы направлены вверх. Рассмотреть возможное расположение корней параболы относительно отрезка 1 x 2.