Читаем Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы полностью

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Альберт Анатольевич Рывкин , Евгений Борисович Ваховский

10.49. Чтобы составить план решения, нужно рассмотреть строгое неравенство:

Корень в левой части этого неравенства существует и положителен при x а. Поэтому оно равносильно системе

10.50. Разложить оба квадратных трехчлена на множители и общий множитель вынести за скобки.

10.51. Откажитесь от идеи непосредственной проверки данных в условии чисел путем их подстановки в неравенство. Проще это неравенство решить. (!)

10.52. Обратите внимание, что числа 5 + 2 и 5 - 2 при перемножении дают 1, т. е. эти числа взаимно обратны.

10.53. Обозначив log₂x = у, можно привести неравенство к виду

1 + у^2 = |у| (4x - x^2 - 2).

В выражении в скобках нужно выделить полный квадрат.

K главе 11

11.1. С помощью формулы перехода к другому основанию можно выразить искомое число через десятичные логарифмы.

11.2. Число 1225 нужно разложить на простые множители. (!)

11.3. Перенести степени с основанием 2 в правую часть уравнения, а с основанием 3 в левую. После преобразований уравнения его правая часть может быть записана как 2 в некоторой степени, а левая — как степень числа 3.

11.4. Обозначить 3^-|x - 2| = у и исследовать квадратное уравнение.

11.5. Обозначить 12^|x| = у. При исследовании учесть, что не только дискриминант не должен быть отрицательным, но и найденные значения у не могут стать меньше 1. (!)

11.6. Уравнение можно переписать в виде

Прежде чем прологарифмировать, удобно получить в правой части единицу. (!)

11.7. Использовать тот факт, что числа 2 + 3 и 2 - З взаимно обратные

11.8. Уравнение примет более симметричный вид, если разделить обе его части на 2^x.

11.9. Отдельно рассмотреть случаи, когда основание равно 0, 1, -1. (!)

11.10. Привести к одинаковому числу под знаком логарифма.

11.11. С помощью формулы log_ab = log_a^kb^k можно добиться того, что в уравнение будут входить только log_x7 и log₇x.

11.12. Если уравнение прологарифмировать по основанию 3, то мы получим уравнение третьей степени относительно log₃x. (!)

11.13. Уравнение легко преобразовать в иррациональное с помощью замены у = log_x

3. (!)

11.14. Так как 2 log_x 2 = log_x 4, то после умножения обеих частей уравнения на log₄x оно упростится. Нарушится ли при этом равносильность?

11.15. Вид уравнения подсказывает, что для его решения удобно перейти к логарифмам с общим основанием x. Равносильное ли получится уравнение?

11.16. В уравнение входят логарифмы выражения 3 + x при разных основаниях. Его можно упростить, если воспользоваться формулой

11.17. При решении удобнее следить за равносильностью, чем делать в конце проверку, которая окажется здесь достаточно громоздкой.

11.18. Если log_bx записать при основании а, то уравнение упростится.

11.19. Если в каждом из подкоренных выражений произвести логарифмирование с переходом к общему основанию а, то это позволит выделить под радикалами полные квадраты. Очевидно, такие же ограничения, как на а, должны быть наложены и на x.

11.20. Система не может иметь решений, в которых хотя бы одно неизвестное обращается в нуль (докажите). Следовательно, каждое уравнение можно прологарифмировать.

11.21. Поскольку нам известно, чему равно x^у, то второе уравнение целесообразно возвести в степень у.

11.22. Из вида системы следует, что x и

у положительны. Так как в левых частях уравнений одинаковые показатели степени, то целесообразно попытаться их найти.

11.23. Так как 11^xz : 11^z = 11^(x - 1)z, то с помощью этого соотношения можно получить уравнение относительно .

11.24. Так как коэффициенты в левых частях уравнений одинаковы (двойку во втором уравнении можно убрать, прибавив единицу к показателю степени), то целесообразно посмотреть, нет ли у левых частей общего множителя.

11.25. Вначале нужно перейти к общему основанию у логарифмов, а затем получить систему двух алгебраических уравнений.

11.26. Способ 1. Систему можно решить подстановкой, выразив из второго уравнения у через x.

Способ 2. Воспользоваться равенством а^log_bc = с^log_bа .

11.27. Решение системы нужно начать с использования ограничений, что позволит сократить число рассматриваемых случаев.

Из второго уравнения следует, что x и у — величины одного знака. Поскольку должен существовать log₂ (x + у), то x

и у положительны. Сумму x + у легко сравнить с единицей.

11.28. Это — алгебраическая система относительно u = log₂x и v = log₂(у + 1). (!)

11.29. Оба уравнения можно упростить с помощью формулы

log_a^kN = ¹/_klog_aN (а 0, а /= 1).

11.30. Первые два уравнения можно рассматривать как систему относительно соответствующих степеней тройки. Нетрудно заметить, что это позволит найти x.