Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

12.3. Перенести ctg x в левую часть и преобразовать вместе с 1/2 tg ^x/₂.

12.4. Поскольку нам нужно получить соотношение, в котором участвуют  + и , то вместо sin удобно записать sin [( + ) - ] и воспользоваться формулой синуса разности. (!)

12.5. Домножить и разделить на 2 sin /₇ и воспользоваться формулой синуса двойного угла. (!)

12.6. Вычислить произведение косинусов этих углов можно, если домножить и разделить его на 2 sin /₇. После этого нужно трижды последовательно воспользоваться формулой синуса двойного угла (см. задачу 12.5).

12.7. Удобнее доказать, что правая часть равна левой. Для этого стоящее в правой части выражение нужно преобразовать с учетом данных равенств.

12.8. В произведении sin (x + у) sin (x - у) удобно раскрыть синус суммы и синус разности.

12.9. Выразить дробь, стоящую в правой части последнего равенства, через синусы и косинусы  и .

12.10. Данное выражение и выражение, которое нужно вычислить, симметричны относительно , и . Левую часть данного равенства удобно выразить через sin^2, sin^2, sin^2.

12.11. Подставить =  + /₃, =  + ²/₃ и записать данное выражение через синусы и косинусы.

12.12. Так как ctg , ctg и ctg образуют арифметическую прогрессию, то ctg  + ctg = 2 ctg . Если теперь вспомнить, что = /₂ - ( + ), то можно получить соотношение, не зависящее от ctg  + ctg . (!)

12.13. cos 106° = cos (90° + 16°) = -sin 16° = -2 sin 8° cos 8°.

K главе 13

13.1. Множитель 2 sin (x + /₄) замените на sin x + cos x.

13.2. Левую часть можно преобразовать так, чтобы она содержала множителем выражение, стоящее в правой части.

13.3. Выразить левую часть уравнения через sin x

и cos x так, чтобы оказалось возможным разложение ее на множители.

13.4. Если преобразовать в сумму произведение синусов двух функций и произведение косинусов этих же функций, то получим сопряженные выражения. Поэтому целесообразно заменить тангенсы через синусы и косинусы соответствующих аргументов.

13.5. Если записать ¹/_{tg x} вместо ctg x, то после простых преобразований (следите за их равносильностью) придем к распадающемуся уравнению.

13.6. Прибавить к левой и правой частям уравнения tg 3x. Тогда слева можно вынести за скобки число 3, а справа tg 3x.

13.7. Нетрудно заметить, что множитель sin (x + /₄) можно вынести в левой части уравнения за скобки, так как он получается при преобразовании суммы sin x + cos x в произведение.

13.8. Перенести tg 2x в правую часть и привести обе части уравнения к виду, удобному для логарифмирования.

13.9. Избавиться от иррациональностей с помощью перехода под радикалами к функциям половинного аргумента. Использовать условие, что 0 x 2, и постараться раскрыть знаки абсолютной величины.

13.10. Перенести sin  в левую часть и привести полученную сумму к виду, удобному для логарифмирования. Стоящий в правой части sin x выразить через функции половинного аргумента.

13.11. Рассмотреть случаи, позволяющие раскрыть знаки абсолютной величины; задача сведется к решению двух уравнений и к выбору тех значений x, которые попадают в указанный интервал.

13.12. Вначале следует посмотреть, не стоит ли под радикалом полный квадрат какого-то выражения. Число 16 нам, скорее всего, не помешает, а вот число 17 менее удобно для последующих преобразований. Чтобы освободиться от его присутствия, удобно вынести под радикалом sec^2 x за скобки, а оставшееся в скобках выражение записать через sin x.

13.13. Перенести все члены уравнения в левую часть и разложить на множители с тем, чтобы появилась возможность избавиться от большинства радикалов.

13.14. Выразить sin 4x через tg 2x. Это тождество условное, поэтому нужно убедиться в равносильности полученного уравнения данному.

13.15. Перейти к функциям sin x и cos x.

13.16. Правую часть уравнения можно сократить на cos 2x, добавив условие cos 2x /= 0.

13.17. С помощью универсальной подстановки (через тангенс половинного угла) это уравнение может быть сведено к кубичному уравнению относительно у = tg ^x

/₂. Равносильное ли получится уравнение?

13.18. Понизить степень.

13.19. Левую и правую части можно привести к виду, удобному для логарифмирования.

13.20. Уравнение упростится, если преобразовать произведения, стоящие в левой его части, в разность косинусов. Оно станет квадратным относительно у = cos x. (!)

13.21. Выразить sin 4x через sin x и cos x и вынести sin x за скобки после переноса в левую часть.

13.22. Раскрыть скобки и каждое из ста произведений преобразовать в сумму. (!)

13.23. Каждое произведение преобразовать в разность косинусов. (!)

13.24. Выразить cos 4x + 1 через cos 2x.

13.25. Произведение косинусов может равняться единице, если либо оба косинуса равны единице, либо оба равны минус единице.

13.26. Представить единицу в виде sin^2 x + cos^2 x.