Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

13.27. Уравнение таково, что не остается надежд на упрощения в результате тригонометрических преобразований. Поэтому следует попытаться воспользоваться оценками. Во-первых, выражение, стоящее в левой части, всегда неотрицательно, кроме того, cos⁴ x >= 0; следовательно, и cos 3x >= 0. Во-вторых, слева стоит сумма квадратов, которую разумно дополнить до полного квадрата.

13.28. Обратить внимание на то обстоятельство, что левая часть уравнения не может стать меньше единицы, а правая не может превзойти единицу.

13.29. Второе уравнение легко свести к виду sin (2x - у) = 0, откуда у = 2x - k. При подстановке в первое уравнение получим

4 tg 3x = 3 tg 4x.

Это уравнение удобнее преобразовать к виду

4(tg 4x - tg 3x) = tg 4x,

чем к виду

3(tg 4x - tg 3x) = tg 3x,

так как множитель 4 удобнее при тригонометрических преобразованиях.

13.30. Второе уравнение легко решается преобразованием его левой части в разность косинусов; в результате получится соотношение 2у = /

₂ - x + k. Прежде чем им воспользоваться, следует первое уравнение привести к виду, удобному для логарифмирования.

13.31. Левые части первого и второго уравнений нетрудно выразить через u = sin x и v = sin у.

13.32. Второе уравнение существенно упростится, если его левую часть преобразовать в сумму.

13.33. Из системы можно исключить x, если воспользоваться основным тригонометрическим тождеством

sin^2  + cos^2 = 1.

13.34. Нужно вначале решить первое уравнение, решение которого находится обычным путем. Найденное значение подставить во второе уравнение.

13.35. Разделив второе уравнение на первое, получим tg у = 2 tg x.

13.36. Удобно перейти к уравнениям относительно одной тригонометрической функции. При этом нужно следить за равносильностью.

13.37. Если возвести каждое уравнение в квадрат и полученные уравнения сложить, то мы исключим . Однако для нас важнее исключить либо x, либо у. Как это сделать?

13.38. Левую часть первого уравнения можно преобразовать в разность sin (x - у) - cos (x + у). Из второго уравнения определяется cos (x

 + у).

13.39. Правая часть уравнения не может стать больше четырех. Если ввести обозначения tg^2 x = u, tg^2 у = v, то нетрудно заметить, что левая его часть не может стать меньше четырех.

13.40. Способ 1. Умножить sin^2 x на тригонометрическую единицу sin^2 3x + cos^2 3x и сгруппировать члены, содержащие sin^2 3x.

Способ 2. Перенести все члены в левую часть и выделить полный квадрат разности 2 sin x - sin^2 3x. Оставшиеся члены образуют неотрицательное выражение.

13.41. Способ 1. Преобразовать сумму тригонометрических функций cos x + cos у в произведение, а cos (x + у) выразить через косинус половинного аргумента.

Способ 2. Раскрыть cos (x + у) по формуле косинуса суммы.

13.42. Вопрос задачи естественно поставить следующим образом: при каких а и b равенство

tg x + tg (а -

x) + tg x tg (а - x) = b

является тождеством (неабсолютным)?

13.43. Вначале следует попытаться оценить снизу левую часть уравнения, так как верхняя оценка правой части очевидна:

12 +  1/2 sin у = 12,5.

13.44. Перенести sin Зx в левую часть уравнения и преобразовать sin x - sin Зx к виду, удобному для логарифмирования.

13.45. После раскрытия скобок произвести упрощения.

13.46. Условие записано таким образом, что введение нового неизвестного

является очевидным шагом к решению уравнения. Мы придем к квадратному уравнению относительно у.

13.47. В задаче требуется решить систему двух уравнений с одним неизвестным и выбрать решения, удовлетворяющие ограничению |x| 5. Было бы заблуждением пытаться свести эти два уравнения в одно с помощью подстановки или какого-либо другого преобразования. Можно решить каждое в отдельности и отыскать общие корни. Однако попытайтесь использовать особенности данной системы.

13.48. Так как выражений, схожих с cos ^6x/₅ , в условии больше нет, то, скорее всего, cos ^6x/₅ преобразовывать не следует. В числителе левой части tg x естественно вынести за скобки. Выражение 3 - tg^2x, оставшееся в скобках, удобнее преобразовать, заменив tg^2 x на  

13.49. Воспользуйтесь тем, что  и cos Зx + cos x = 2 cos 2x cos x.

13.50. Разбить 4 ctg 2x на слагаемые и в левой части образовать выражения 2(tg x + ctg 2x), tg ^x/₂ + ctg 2x, ctg 2x - ctg Зх. Преобразовать каждое из этих выражений и затем преобразовать все уравнения к равной нулю дроби, у которой числитель и знаменатель — произведения тригонометрических функций.

13.51. Сделайте преобразование, имея в виду, что sin t /= 0, cos t /= 0, и воспользуйтесь соотношениями:

K главе 14

14.1. Если обе части неравенства возвести в квадрат, то получим равносильное неравенство. (!)

14.2. Использовать тот же прием, что и при решении уравнения cos x - sin x = -1, т. е. ввести вспомогательный угол. (!)

14.3. Способ 1. Можно перейти к неравенству относительно tg x. При этом придется рассмотреть различные случаи, в зависимости от знака cos x. (!)