Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

16.13. Уравнение составлено таким образом, что решить его с помощью элементарных преобразований нельзя. Остаются два пути: либо графическое решение, либо оценка правой и левой частей уравнения. Второй путь предпочтительнее, так как левая часть легко оценивается, если положить 4^{cos^2 - x} = u.

16.14. Трехчлен x^2 - x + 0,5 всегда больше 0,25.

K главе 17

17.1. Данную систему решить относительно f(2x + 1) и g(x - 1).

17.2.f(x) = x(x^2 - 6x + 9) = x(x - 3)^2,

f(f(x)) = f(x) (f(x) - 3)^2 = x(x - 3)^2(x^3 - 6

x^2 + 9x - 3)^2.

17.3. Из второго уравнения найти 2 и подставить в первое. Воспользоваться условием, что x и у — целые числа.

17.4. Неравенство |x + 2| = x + 2 удовлетворяется при всех x >= -2.

Уравнение следует преобразовать с помощью подстановки

2^{x - 1} = у,  sin ^x/₂ = 2.

17.5. Найти первообразную F(x) и воспользоваться условием касания графиков функций f(x) и F(x) в некоторой точке F₀(x₀; у₀).

17.6. Данное неравенство равносильно такому:

Рассмотрите случаи: а) 0 x - у 1 и б) x

- у 1.

17.7. Изобразите на графике часть плоскости, координаты точек которой удовлетворяют первому неравенству, для каждого квадранта отдельно. Для первого квадранта это будут все его точки.

17.8. Начать нужно с определения координат точки E. Для этого придется записать уравнение прямой, проходящей через две точки (x₁, у₁) и (x₂, у₂):

сначала для точек В и D, затем для точек А и C. Решение системы этих двух уравнений даст нам координаты точки E.

17.9. Оба неравенства зависят от x + у и от у - x. Это подсказка побуждает ввести новые переменные u = x + у и v = у - x.

17.10. Если x

₁ и x₂ — целые, то и а — целое. (Докажите.)

17.11. Это биквадратное уравнение, и оно сводится к квадратному подстановкой x^2 = у. Знак дискриминанта квадратного уравнения не позволяет ответить на вопрос о числе корней исходного уравнения. Нужно позаботиться, чтобы у >= 0.

17.12. Поскольку cos 8x = 1 - 2 sin^2 4x, исходное уравнение преобразуется в квадратное относительно у = sin 4x, где |у| = 1.

17.13. Подставив любые значения x и а в данное уравнение, получим соответствующее единственное значение у. Таким образом, при любом фиксированном а любая прямая, параллельная оси у, пересечет кривую семейства, соответствующую этому а, в единственной точке. Это не означает, что через каждую точку плоскости (x, у) проходит кривая семейства. Не при любом у мы найдем точки плоскости (x, у), соответствующие данному семейству.

K главе 18

18.1. Если ввести в качестве неизвестных производительности труб, то получим три уравнения с четырьмя неизвестными (объем бассейна следует принять за единицу).

18.2. Если плечи весов равны l₁ и l₂

, то можно вычислить массу P товара, отпущенного покупателю.

18.3. Эта задача менее всего похожа на «алгебраическую». Скорее, она напоминает рассуждения человека, пытающегося обнаружить факт на основе отрывочных сведений. Вначале следует обратить внимание на то обстоятельство, что листов в альбоме — число целое. После этого нужно использовать условие задачи с тем, чтобы ограничить рассмотрением возможные значения этой переменной.

18.4. Путь буксира изображен на рис. 1.18.4, где x — часть пути, которую прошел самостоятельно (т. е. без буксировки) первый понтон, а y — часть пути, которую прошел без буксировки второй понтон.

18.5. Так как некто родился в девятнадцатом веке, то неизвестны две последние цифры его года рождения. Если мы обозначим их через x и y, то сможем записать условия задачи в виде уравнений.

18.6. Если одна часть имеет массу x карат, то ее цена lx^2, где l — коэффициент пропорциональности.

18.7. Основная трудность в выборе неизвестных, которые позволили бы связать данные в условии величины. Здесь эту роль могут выполнить нормы расхода горючего при работе двигателя с фиксированной собственной скоростью. K чему удобнее отнести эти нормы: к часу работы двигателя или к километру пути в стоячей воде?

18.8. Выбор неизвестных подсказан условием задачи: x, y, z, s и t — число десятков порций соответствующих сортов мороженого. Выбрав в качестве неизвестных число десятков порций, а не число самих порций, и заметив, что неизвестные — натуральные числа, мы тем самым использовали условие, в силу которого у продавца есть по нескольку десятков порций мороженого. Последнее условие задачи запишется в виде неравенства y s. Это ограничение позволит нам восполнить отсутствие пятого уравнения в системе с пятью неизвестными.

18.9. Пусть С — устье реки. Время, за которое плоты прошли весь путь от А до В, известно, а время, за которое прошли путь СB, обозначим через x. Если ввести в рассмотрение расстояние AC, то скорость течения реки можно выразить из остальных условий задачи.

18.10. Условия задачи отражены на схеме (рис. 1.18.10). С помощью схемы можно составить четыре уравнения: встреча в точке С дает два уравнения и две оставшиеся встречи — по одному.