Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Воспользуемся тем, что 69k + 1 = 4x, т. е. левая часть этого равенства делится на 4. Запишем его в виде: 68k + k + 1 = 4x, откуда k = 4m - 1. B качестве k могут быть использованы числа 3, 7, 11, 15, ... Проверим первое из них, которому соответствует минимально возможное значение x: 68 · 3 + 4 = 4х, т. е. x = 52. Поскольку y = x + 11n, то рассмотрим значения y по мере возрастания n. Минимальное значение y будет соответствовать минимальному значению n. При n = 1 получим y = 63.

Ответ. (52; 63).

Глава 7

Алгебраические преобразования

7.1.

Ответ.

7.2. Перепишем данное выражение так:

Числитель второй дроби теперь легко разложить на множители. Со знаменателем дело обстоит несколько труднее. Однако в первую очередь нас интересует, делится ли знаменатель на 1 + x - x^2. Проверяем с помощью деления углом (проделайте это самостоятельно) и убеждаемся, что

x⁴ - x^2 - 2x - 1 = (1 + x - x^2)(-x^2 - x - 1).

Таким образом,

Ответ.

7.3. Приведем первые два слагаемых к общему знаменателю. Получим

где А и B — соответственно многочлены, входящие множителями в первое и во второе слагаемые.

Раскроем в числителе скобки и приведем подобные. После этого останется

Преобразуем третье слагаемое:

Остается вычесть его из предыдущего результата.

Ответ. это выражение положительно при x /= 0.

7.4. Домножив дробь на  получим

Остается вычесть 2b и данное выражение примет вид

Ответ.

7.5. Вынесем за скобки  и воспользуемся выражением x через а: 

Ответ. 0.

7.6. Преобразуем данное выражение:

Так как 1 = x = 2, то 0 = x - 1 = 1 и, следовательно,  т. е.  Поэтому

Ответ. 2.

7.7. Так как 9 + 42 = (22 + 1)^2, то

Остается преобразовать

Если догадка, что

43 + 302 = 25 + 2 · 5 · 32 + 18 = (5 + 32)^2,

кажется вам неестественной, то воспользуйтесь формулой сложного радикала

Ответ. 5 + 32.

7.8. Перепишем данное выражение в виде

(z^2 - y^2)(xу + zu) + (x^2 - u^2)(xу + zu) + (

y^2 - z^2)(xz + уu) + (x^2 - u^2) x (xz + уu) = (z^2 - y^2)(xу + zu - xz - уu) + (x^2 - u^2)(xу + zu + xz + уu).

Так как

xу + zu - xz - уu = x(y - z) - u(y - z) = (y - z)(x - u),

xу + zu + xz + уu = (y + z)(x + u),

то получим

(z - y)(z + y)(y - z)(x - u) + (x - u)(x + u)(y + z)(x + u) = (x - u)(y + z)[-(y - z)^2 + (x + u)^2].

Ответ. (x - u)(y + z)(x + u - y + z)(x + u

+ y - z).

7.9. Обозначим

Возведем в куб. Получим

Произведение корней преобразуем так:

выражение в скобках равно z. Придем к уравнению

z^3 - 5z - 12 = 0.

Так как z = 3 — корень этого уравнения, в чем убеждаемся проверкой, то преобразуем уравнение к виду

z^3 - 9z + 4z - 12 = 0, или (z - 3)(z^2 + 3z + 4) = 0.

Уравнение z^2 + 3z + 4 = 0 не имеет действительных корней. Следовательно, z = 3, что и требовалось доказать.

7.10. По условию а + b = -с. Возведем в куб

а^3 + b^3 + 3аb(а + b) = -с^3

и заменим а + b на -с. Получим

а^3 + b^3 + с^3 = 3аbс.

Возведем а + b + с = 0 в квадрат

а^2 + b^2 + с^2 = -2(ab + ас + bc)

и еще раз возведем в квадрат

а⁴ + b⁴ + с⁴ + 2(а^2b^2 + а^2с^2 + b^2с^2) = 4[а^2b^2 + а^2с^2 + b^2с^2 + 2(а^2bc + b^2ас + с^2ab)].

Поскольку а^2bc + b^2ас + с^2ab = аbс(а + b +

с) = 0, то

а⁴ + b⁴ + с⁴ = 2(а^2b^2 + а^2с^2 + b^2с^2).

Преобразуем левую часть тождества, которое нужно доказать:

а⁵(b^2 + с^2) + b⁵(а^2 + с^2) + с⁵(а^2 + b^2) = а^2b^2(а^3 + b^3) + а^2с^2(а^3 + с^3) + b^3с^2(b^3 + с^3).

Заменим а^3 + b^3 на 3аbс - с^3 и поступим аналогично с остальными скобками:

что и требовалось доказать.

7.11. Если данное равенство доказано при x >= 0 и любом y, то оно верно для всех x и y. Действительно, пусть x 0. Тогда левую часть можно записать в виде

|-(x + y)| + |-(x - y)| = |(-x) - y)| + |(-x) + y|,

а правую — в виде

Поскольку -x 0, то равенство стоящих справа выражений будет доказано.

Итак, пусть x >= 0. Рассмотрим два случая: |y| = x и |y| x.

1. x >= 0, |y| = x, т. е. -x = y = x. Тогда x^2 - y^2 >= 0 и  — неотрицательное действительное число. Кроме того  и равенство примет вид

2. x >= 0, |y| x, т. е. y -x или y

x. Левая часть равенства в этом случае равна 2|y| (случаи y -x и y x разберите самостоятельно). Так как |y| x, то  следовательно,

Тем самым доказательство тождества закончено.

7.12. Так как обе части равенства неотрицательны, то можно каждую из них возвести в квадрат

Осуществим действия, указанные в скобках, и заметим, что (^{x + y}/₂)^2 >= xy. Получим

x^2 + 2ху + y^2.

Если возвести в квадрат правую часть, то получим

x^2 + 2|ху| + y^2.

Так как по условию ху = |ху|, то равенство доказано.

7.13. Возведем выражение

a ^1/3 + b ^1/3 = -c ^1/3    (1)

в куб. Получим

a + b + 3a ^1/3 b ^1/3 (a ^1/3 + b ^1/3 ) = -c.  (2)

Подставим (1) в (2):

a + b - 3a ^1/3 b ^1/3 c ^1/3 = -c.

т. е.

a + b + c = 3a ^1/3 b ^1/3 c ^1/3 ,

или

(а + b + с)^3 = 27аbс.

7.14. По условию

24х^2 + 48х + 26 = (ax + b)^3 - (cx + d)^3,

т. е. коэффициенты многочленов слева и справа равны. Прежде чем преобразовать правую часть, заметим, что коэффициент при x^3 равен нулю, т. е. а^3 - с^3 = 0, или а = с. Тогда получим, что