Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

т. е. x = -2, что противоречит предположению. Таким образом, при x -2 уравнение не имеет решений.

При -2 = x = -1 получим x = -2.

При -1 x = 0 уравнение обращается в ложное числовое равенство 4 = 0. На этом интервале нет решений.

Наконец, при x 0 получаем x = -2, что снова противоречит ограничению.

Ответ.x = -2.

9.2. Пусть x^2 = y. Тогда

|y - 9| + |y - 4| = 5.

Точки y = 4 и y = 9 разбивают числовую ось на три интервала.

Если y 4, уравнение примет вид

9 - y + 4 - y = 5,

откуда y = 4. Это значение не принадлежит выбранному интервалу.

Если 4 = y = 9, то знаки абсолютной величины следует раскрыть так:

9 - y + y - 4 = 5, т. е. 5 = 5.

Так как уравнение обратилось в верное числовое равенство, то все значения y из интервала 4 = y = 8 являются решениями.

При y 9 получим

y - 9 + y - 4 = 5,

т. е. y = 9. Здесь снова нет решений. Вспоминая, что y = x^2, запишем

4 = x^2 = 9, или 2 = |x| = 3.

Ответ. -3 = x = -2; 2 = x = 3.

9.3. Способ 1. Дополним стоящую слева сумму квадратов до полного квадрата:

(x - ^3x/_{3 + x})^2 + ^6x^2/_{3 + x} - 7 = 0,

т. е.

(^{x^2}/_{3 + x})^2 + 6^x^2/_{3 + x} - 7 = 0,

откуда получаем совокупность уравнений:

^{x^2}/_{3 + x} = -7, ^x^2/_{3 + x} = 1.

Действительных решений y этой совокупности уравнений нет.

Способ 2. Введем новое неизвестное:

^3x/_{3 + x} = u

, или 3x = 3u + xu.

Получим систему

Вычитая из первого уравнения удвоенное второе, придем к уравнению относительно x - u

(x - u)^2 + 6(x - u) - 7 = 0, откуда следует совокупность двух уравнений:

x - u = -7, x - u = 1.

Решая каждое из этих уравнений, убедимся, что действительных корней нет.

Ответ. Решений нет.

9.4. Возведем данное уравнение в куб:

Стоящий в скобках в левой части уравнения двучлен заменим правой частью данного уравнения и приведем подобные члены:

Такая замена может привести к появлению посторонних корней. B самом деле, при возведении а + b = с в куб мы получаем равенство, справедливое при всех тех же значениях а, b и с, что и данное равенство. После замены же мы получим

а^3 + b^3 + 3аbс = с^3.

Это равенство удовлетворяется при а = b = 1, с = -1, в то время как исходное равенство а + b = с при этих значениях букв ложно. Следовательно, мы должны завершить решение проверкой.

Возведем последнее иррациональное уравнение в куб. После сокращения получим

4х(2x - 3)(x - 1) = 9(x - 1)^3.

Один корень этого уравнения x₁ = 1; остается квадратное уравнение

x^2 - 6х + 9 = 0, x_2,3 = 3.

Сделав проверку, убеждаемся, что найденные корни подходят.

Ответ.x₁ = 1; x_2,3 = 3.

9.5. Пусть  Придем к системе

Это — симметрическая система, ее обычно решают подстановкой: и + V = в, ии = _. Поэтому преобразуем левую часть первого уравнения:

u

⁴ + v⁴ = (u^2 + v^2)^2 - 2u^2v^2 = [(u + v)^2 - 2uv]^2 - 2u^2v^2 = (64 - 2t)^2 - 2t^2 = 64^2 - 256t + 2t^2.  

Поскольку все это равно 706, получаем квадратное уравнение

t^2 - 128t + 1695 = 0,

откуда

t₁ = 15, t₂ = 113.

Остается решить совокупность двух систем:

Решая первую, найдем v₁ = 3, v₂ = 5, откуда x₁ = 4, x₂ = 548. Вторая не имеет действительных решений.

Проверкой убеждаемся, что найденные корни удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ.x₁ = 4; x₂ = 548.

9.6. Введем новые неизвестные:

Получим систему

Обозначим u + v = p. Так как в силу первого уравнения системы u - v = 1, то u = ^p + 1/₂, v = ^p - 1/₂. Второе уравнение системы примет вид

(^{p + 1}/₂)⁵ - (^p - 1/₂

)⁵ = 31, 

или после очевидных упрощений

р⁴ + 2р^2 - 99 = 0.

Это биквадратное уравнение имеет два действительных корня р₁ = -3, р₂ = 3. Зная р₁ и р₂, найдем u₁ = -1, u₂ = 2, откуда получим два уравнения для определения значений x:

x^2 - 34x + 32 = 0, x^2 - 34x + 65 = 0.

Решив эти уравнения, найдем четыре корня.

Ответ.

9.7. Введем новые неизвестные:

т. е. u⁴ + v⁴ = а - b.

Получаем систему

Заменяя во втором уравнении а - b на u⁴ + v⁴, получим

откуда

u⁵ + v⁵ - uv⁴ - и⁴v = 0, где u + v /= 0,

т. е.

u⁴(u - v) - v

⁴(u - v) = 0,

а потому

(u - v)^2(u^2 + v^2)(u + v) = 0.

Так как последние два множителя в нуль обратиться не могут, то остается и = v, т. е. а - x = x - b, и, следовательно,

x = ^а + b/₂.

Проверкой убеждаемся, что это — корень исходного уравнения, если а b.

Ответ. При а b имеем x = ^а + b/₂.

9.8. Обозначив  получим систему уравнений

Вычитаем из первого уравнения второе:

x + y = (y - x)(x + y).

Если x + y = 0, то x = y = 0, поскольку и x, и y неотрицательны. Так как  то из x = y = 0 следует, что а = 0. Проверкой убеждаемся, что найден корень данного уравнения.

Если x + y /= 0, то y - x - 1 = 0, откуда  и x^2 + x + 1 - а = 0. Решая квадратное уравнение, найдем  Остается исследовать, при каких значениях а эти корни вещественны и удовлетворяют исходному уравнению.

Во-первых, необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным, т. е. а >= 3/4 .

Во-вторых, корень данного уравнения не должен быть отрицательным. Один из корней  при всех а >= 3/4 отрицателен, а потому не подходит. Другой корень  больше или равен нулю, если  т. е. а >= 1.