Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

(ax + b)^3 - (ax + d)^3 = 3а^2(b - d)x^2 + 3а(b^2 - d^2)x + b^3 - d^3.

Следовательно,

Из (3): b - d = ⁸/_a^2. Из (4) с учетом (3): b + d = 2а.

Далее найдем:

Подставим выражения для b - d , b + d и bd в (5):

(так как а 0).

Соответственно, b = 3, d = 1.

Ответ. 2x + 3; 2x + 1.

Глава 8

Делимость многочленов. Теорема Безу. Целые уравнения

8.1. Положив x - 5 = y, приведем уравнение к виду

(y + 1/2 )⁴ + (y -  1/2 )⁴ = 1, или (2у + 1)⁴ + (2у - 1)⁴ = 16,

откуда после простых преобразований получим

16y⁴ + 24y² - 7 = 0.

Ответ. x_1,2 = 5 ± i⁷/₂; x₃ = 4,5; x₄ = 5,5. 

8.2.

Перемножим попарно первую и третью скобки и две оставшиеся:

(12х^2 + 11х + 2)(12х^2 + 11х - 1) = 4.

Обозначив 12х^2 + 11х + 1/2 = y, получим

(y + ³/₂)(y - ³/₂) = 4,

откуда

y₁ = -⁵/₂, у₂ = ⁵/₂.

Остается решить два квадратных уравнения.

Ответ.

8.3. Запишем уравнение в виде

x^2 - 17 = 3y^2

и рассмотрим случаи x = 3k, x = 3k ± 1. B первом случае левая часть примет вид 9k^2 - 17 и не будет делиться на три. B остальных двух случаях в левой части получим

9k^2 ± 6k - 16,

что снова не делится на три. Поскольку правая часть всегда делится на три, то уравнение не имеет целых решений.

8.4. Решим уравнение относительно x:

Так как уравнение имеет действительные корни лишь при

25 - y^2 >= 0, т. е. |y| = 5,

то остается перебрать все целые значения y, для которых  — целое число: y = 0, y = ±3, y = ±4, y = ±5. Для каждого значения y найдем два значения x.

Ответ. (10, 0), (-10, 0); (-1, -3), (-17, -3); (1, 3), (17, 3); (-6, -4), (-18, -4); (6, 4), (18, 4); (-15, -5), (15, 5).

8.5. По определению деления имеем тождество

x⁹⁹ + x^3 + 10х + 5 = Q(x) (x^2 + 1) + ax + b,

которое справедливо всюду в области комплексных чисел. Так как частное Q(x

) нам неизвестно и оно нас не интересует, то в качестве значения xнужно выбрать один из корней выражения x^2 + 1, например x = i. Подставив x = i, получим

i⁹⁹ + i^3 + 10i + 5 = аi + b, т. е. 8i + 5 = аi + b,

откуда а = 8, b = 5.

Ответ. 8х + 5.

8.6. Перепишем уравнение в виде

y^2 ^2x^2 + 1/_x^2 + 2 = 6.

Если x^2 >= 1, то ^2x^2 + 1/_x^2 + 2 >= 1. 

Так как x = 0 не является целочисленным решением уравнения, то можно утверждать, что y^2 = 6. Остается рассмотреть случаи: y^2 = 0, y^2 = 1, y^2 = 4. Первый и второй не приводят к действительным значениям x. Для y^2 = 4 находим x^2 = 4.

Ответ. (2, 2), (2, -2); (-2, 2), (-2, -2).

8.7. Подставим в данное уравнение x = 3 + 1. После простых вычислений и преобразований получим

36 + 10а + 4b + (22 + 6а + 2b)3 = 0.

Сумма двух чисел, из которых одно рациональное, а другое иррациональное, может равняться нулю, только если оба числа равны нулю:

(1).

Решая эту систему, найдем а = -4, b = 1. Поскольку уравнение

x⁴ - 4x^3 + x^2 + 6x + 2 = 0

одним из своих корней имеет число 3 + 1, а все коэффициенты уравнения — целые, то следует ожидать, что наряду с этим корнем должен существовать и корень 3 - 1. Подставим это значение x в уравнение и соберем отдельно рациональные и иррациональные члены. Получим

36 + 10а + 4b - (22 + 6а + 2b)3 = 0,

что приводит к той же системе уравнений (1) и имеет место при а = -4, b = 1. Следовательно, x = 1 - 3 — второй корень данного в условии уравнения.

Разделив многочлен x⁴ - 4x

^3 + x^2 + 6x + 2 на

(x - 3 - 1)(x + 3 - 1) = x^2 - 2x - 2,

получим квадратный трехчлен x^2 - 2x - 1, корнями которого являются числа 1 + 2.

Ответ. x_1,2 = 1 ± 3; x_3,4 = 1 ± 2.

8.8. Из теоремы Виета получаем неравенства:

Добавляем к ним условие неотрицательности дискриминанта:

(а + 1)^2 - 4(а + 4) >= 0.

Приходим к системе неравенств

Последнему неравенству удовлетворяют числа а, лежащие вне промежутка между корнями: а = -3, а >= 5.

Ответ. -4 а = -3.

8.9. Пусть х₁, х₁q и х₁q^2 — корни данного уравнения. По теореме Виета имеем систему

Из этих уравнений нужно исключить x₁ и q. Поскольку из первого уравнения следует х₁(1 + q + q^3) = -а, то второе примет вид

b = х₁^2q(1 + q + q^2) = x₁q(-а),

т. е. x₁q = - ^b/_a, откуда

-^{b^3}/_a^3 = -c.

Ответ.са^3= b^3.

8.10.

По теореме Виета

Возведем первое уравнение в квадрат:

₁^2 + ₂^2 + ₃^2 + 2(₁₂ + ₁₃ + ₂₃) = 0,

откуда найдем ₁^2 + ₂^2 + ₃^2 . Как видим, последнее уравнение не понадобилось.

Ответ.₁^2 + ₂^2 + ₃^2 = -2p.

8.11. Разделив x^3 + ax + 1 на x - , получим в частном x^2 + x + а + ^2, а в остатке ^3 + a + 1. Условия задачи будут выполняться тогда и только тогда, если

^3 + a + 1 = 0,

x^2 + x + а + ^2 0 при всех x.

Чтобы выполнялось второе условие, дискриминант -3^2 - 4а должен быть отрицательным, т. е. 3^2 + 4а 0.

Число а не может быть равно нулю, так как уравнение а^3 + а + 1 = 0 не удовлетворяется при а = 0. Из первого уравнения a = -^{1 + ^3}/. Поэтому должно быть

3^2 - 4^{1 + ^3}/ 0.

Если  0, то последнее неравенство эквивалентно такому:

3^3 - 4(^3 + 1) 0,

или -^3 4, y которого нет решений.

Если  0, то получим

3^3 - 4(^3 + 1)  0,

или

Ответ.

8.12. Пусть

P(x) = (x - 2)(x - 3) Q(x) + ax + b,

где ax + b — остаток, который надо найти.