Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

По теореме Безу P(2) = 5, а P(3) = 7. Подставим x = 2 и x = 3 в правую часть написанного выше тождества. Получим систему относительно а и b

откуда а = 2, b = 1.

Ответ. 2x + 1.

8.13. Многочлен x⁴ + 1 делится на x^2 + рх + q тогда и только тогда, когда

x⁴ + 1 = (x^2 + ax + b)(x^2 + рх + q).

Раскрывая в правой части скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему уравнений

Из первого и последнего уравнений находим а = -p, b = ¹/_q. Подставляя в оставшиеся два уравнения, получим

Второе уравнение можно переписать так: p(q - ¹/_q) = 0.

Если p = 0, то первое уравнение не имеет действительных решений. Остается q = ¹/_q, т. е. q = ±1. Подставляя найденные значения q в первое уравнение, увидим, что, когда q = 1, р^2 = 2 и p = ±2, а когда q = -1, р^2 = -2 и действительных решений нет. Итак, получаем две возможности: либо p = 2 и q = 1, либо p = -2 и q = 1.

Чтобы закончить решение, нужно сделать проверку. Можно было бы разделить x⁴ + 1 поочередно на каждый из двух трехчленов: x^2 + 2 x + 1 и

x^2 - 2 x + 1. Однако проще убедиться, что

x⁴ + 1 = (x^2 + 2 x + 1)(x^2 - 2 x + 1).

Ответ.р₁ = - 2, q₁ = 1; р₂ =  2, q₂ = 1.

8.14. После замены x - 1 = y получим многочлен

(y + 1)²ⁿ + 1 - (2п + 1)(y + 1)ⁿ + 1 + (2п + 1)(y + 1)ⁿ - 1,

который должен делиться на y^3. Вычислим его коэффициенты при y⁰, y¹ и y².

Свободный член этого многочлена равен

1 - (2n + 1) + (2n + 1) - 1 = 0;

коэффициент при y

2n + 1 - (2n + 1)(n + 1) + (2n + 1)n = 0;

коэффициент при y^2

Тем самым утверждение доказано.

8.15. Чтобы данный многочлен делился на x^2 - x + q без остатка, должно выполняться тождество

6х⁴ - 7x^3 + рх

^2 + 3x + 2 = (x^2 - x + q)(6х^2 + ax + b).

B правой части стоит многочлен

6x⁴ + (а - 6)x^3 + (b - а + 6q)x^2 + (-b + qа)x + qb.

Так как многочлены равны тождественно, получаем систему

Из первого уравнения а = -1. Из третьего и четвертого уравнений исключаем b. Приходим к уравнению

q^2 + 3q + 2 = 0,

откуда

q₁ = -1, q₂ = -2.

Сложив второе и третье уравнения, также исключим b:

5q - 2 = p.

Следовательно,

р₁ = -7, p₂ = -12.

Итак, возможны два решения.

Ответ.

Глава 9

Алгебраические уравнения и системы

Ответы к упражнениям на с. 42, 43 и 52.

1. Абсолютное тождество, так как верно при всех без исключения значениях x.

2. Абсолютное тождество. Верно при x /= /₂ + k. Если же x = /₂ +

k, то обе части теряют смысл.

3. Неабсолютное тождество. Область определения левой части: x /= /₂ + k, область определения правой части: x /= ^k/₂.

4—6. Тождество 4 является абсолютным, поскольку это определение секанса. Тождества 5 и 6 неабсолютные, так как правые части определены всегда, в то время как левые могут терять смысл.

7—8. Тождество 7 абсолютное. B самом деле, левая часть теряет смысл при cos ^x/₂ = 0. Правая часть может быть записана в виде  т. е. тоже теряет смысл при cos ^x/₂ = 0.

Тождество 8 неабсолютное. Левая часть теряет смысл при cos ^x/₂ = 0, а правая, которая может быть записана в виде  перестает существовать как при cos ^x/₂ = 0, так и при sin ^x/₂ = 0.

9—10. Левую часть равенства 9 можно преобразовать так:

ctg 2x = ^{cos 2x}/_{sin 2x} = ^{cos 2x}/_{2sin x} cos x,

а правую записать в виде

Обе части этого равенства перестают существовать одновременно, если либо cos x = 0, либо sin x = 0, следовательно, тождество 9 абсолютное.

Тождество 10 является неабсолютным, поскольку при x = /₂(2n + 1) левая часть равна нулю, а правая теряет смысл.

11—13. Первое из этих трех тождеств неабсолютное, второе и третье — абсолютные.

14—16. Первое и второе тождества неабсолютные, третье — абсолютное.

B самом деле, для первого область определения левой части: x 0, y 0; x 0, y 0, а область определения правой части: x /= 0; y /= 0. Для второго область определения левой части x /= 0, а область определения правой части x 0.

Наконец, для третьего x /= 0 для обеих частей тождества.

17. Пусть x = а — корень данного уравнения. Тогда f(а) = (а). Поскольку (x) существует при всех x

, то (а) — число; следовательно,

f(a) + (а) = (а) + (а). (1)

Таким образом, x = а — корень уравнения

f(x) + (x) = (x) + (x). (2)

Обратно: если x = а — корень (2), то имеет место равенство (1), а потому x = а — корень уравнения f(x) = (x).

Вторую часть теоремы доказывает пример. B самом деле, достаточно рассмотреть два уравнения:

x - 1 = 0 и x - 1 + ¹/_x - 1 = ¹/_x - 1,

первое из которых имеет единственный корень x = 1, а второе вовсе не имеет корней, так как при x = 1 оно теряет смысл.

18. Доказательство аналогично 17. Даже пример можно взять тот же самый.

19—19а. Для доказательства достаточно заметить, что посторонними для данного уравнения могут быть те корни уравнения

f(x) = (x),

для которых (x) либо не существует, либо обращается в нуль.

20. Если f(а) = (а), то [f(а)]^2 = [(а)]^2. Обратно: из второго равенства следует, что либо f(а) = (а), либо f(а) = -(а).

21. Система равносильна совокупности четырех систем:

22. Доказательство непосредственно следует из свойств пропорций.

9.1. При x -2 получим

-x + 2x + 2 - 3x - 6 = 0,