Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Присутствие в неравенстве (4) квадратного корня накладывало на неизвестное определенные ограничения, которые оказались разрушенными после возведения неравенства (4) в квадрат.

Трехчлен x² − 55х + 250 вначале стоял под знаком квадратного корня, а потому должен был быть неотрицательным. После возведения неравенства (4) в квадрат это ограничение исчезло; теперь ничто не мешает трехчлену стать отрицательным. Даже наоборот, в этом случае неравенство x² − 55х + 250 < (x − 14)² удовлетворяется наверняка, так как справа стоит величина, которая не может стать меньше нуля.

Чтобы подкоренное выражение оставалось неотрицательным, мы должны добавить к полученному после возведения в квадрат неравенству требование x² − 55x + 250 ≥ 0, т. е. x ≤ 5, x ≥ 50. Из полупрямой x > 2 оказались выделенными две ее части: 2 < x ≤ 5, x ≥ 50.

Но и теперь еще не все. Достаточно подставить в исходное неравенство значение x = 4, и мы убедимся, что оно не удовлетворяется. Дело в том, что при возведении в квадрат мы устранили еще одно ограничение, которое присутствовало в неравенстве (4). В левой части первоначального неравенства стоит квадратный корень, т. е. неотрицательное число. Чтобы это неравенство удовлетворялось, правая его часть x − 14 должна быть больше нуля. Итак, надо добавить ограничение x − 14 > 0, которое присутствовало в исходном неравенстве и оказалось разрушенным после возведения в квадрат.

Таким образом, после возведения данного неравенства в квадрат, мы должны позаботиться о сохранении всех ограничений, которые присутствуют в данном неравенстве. Неравенство (4) нужно было заменить системой

решая которую мы нашли бы, что

т. е. x ≥ 50.

Упражнения

В каждом из неравенств 6—9 освободитесь от иррациональности, не нарушая равносильности:

6.

7.

8.

9.

Показательные и логарифмические неравенства. При решении показательных и логарифмических неравенств пользуются следующими свойствами:

1. Неравенство f(x)^φ(x) > 1, где f(x) > 0, равносильно совокупности двух систем неравенств:

или системе неравенств

1а. Неравенство f(x)^φ(x) < 1, где f(x) > 0, равносильно совокупности двух систем неравенств:

или системе неравенств

2. Неравенство log_f(x)φ(x) > 0 равносильно совокупности двух систем неравенств:

или системе неравенств

2а. Неравенство  log_f(x)φ(x) < 0 равносильно совокупности двух систем неравенств:

или системе неравенств

Решения неравенств  f(x)^φ(x) < 1 и  f(x)^φ(x) > 1 в предположении, что допускаются отрицательные значения f(x), разобраны в задачах 10.29, 10.30, 10.32.

Запомнить эти свойства можно следующим образом: степень больше единицы, если основание и показатель степени одинаково расположены по отношению к единице и нулю соответственно (т. е. основание правее единицы и показатель правее нуля или основание левее единицы и показатель левее нуля); логарифм больше нуля, если основание и логарифмируемое выражение одинаково расположены по отношению к единице. Если расположение элементов, о которых шла речь, неодинаково, то степень меньше единицы, а логарифм меньше нуля.

10.1. Докажите, что если а + b = 2, где а и b — действительные числа, то а⁴ + b⁴ ≥ 2.

10.2. Докажите, что

(1 + a₁)(1 + а₂)...(1 + а_n) ≥ 2ⁿ,

если а₁, а₂

, ..., а_n, а_n — положительные числа и а₁а₂...а_n = 1.

10.3. Дано а + b = с, где а, b, с — положительные числа. Докажите, что

а^⅔ + b^⅔ > с^⅔ .

10.4. Докажите, что −x³ + x² ≤ ¼, если 0 ≤ x ≤ 1.

10.5. Докажите неравенство

при условии, что а + b + с = 1, а подкоренные выражения неотрицательны.

10.6. Докажите неравенство

(а + b)ⁿ < 2ⁿ(аⁿ + bⁿ),

если а > 0, b > 0, n — натуральное число.

10.7. Докажите, что при а > b > 0 и

p > q где а, b и с — положительные и не равные друг другу числа, не пользуясь неравенствами между средним арифметическим и средним геометрическим трех чисел.

10.8. Докажите, что  при n > 1.

10.9. Докажите неравенство

^a/_b + ^b/_c + ^c/_a > 3

где а, b и с — положительные и не равные друг другу числа, не пользуясь неравенствами между средним арифметическим и средним геометрическим трех чисел.

10.10. Докажите, что

а² + b² + с² ≥ 4S√3,

где а, b, с — стороны, а S — площадь некоторого треугольника.

10.11. Докажите, что

(x − 1)(x − 3)(x − 4)(x − 6) + 10 ≥ 1

при всех действительных значениях x.

10.12. Докажите, что если действительные числа x, у, z, не равные нулю, удовлетворяют равенствам:

x + у + z = xуz     и     x² = уz

,

то

x² ≥ 3.

10.13. Докажите, что если x, у, z — действительные числа, удовлетворяющие равенствам

x + у + z = 5,        уz + zx + xу = 8,

то

1 ≤ x ≤ ⁷/₃,      1 ≤ y ≤ ⁷/₃,        1 ≤ x ≤ ⁷/₃. [9]

10.14. Решите неравенство

аx² + x + 1 > 0,

где а ≠ 0 — произвольное действительное число.

10.15. Найдите все действительные значения m, при которых квадратный трехчлен x² + mx + (m² + 6m) будет отрицателен при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству 1 < x < 2.

10.16. Найдите все действительные значения а, при которых корни многочлена x² + x + а будут действительными и оба корня будут больше а.

10.17. При каких значениях к корни многочлена