Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

2. Тригонометрические функции суммы и разности аргументов:

sin (x ± у) = sin x cos у ± sin у cos x,

cos (x ± у) = cos x cos у ± sin x sin у,

3. Функции двойного и тройного аргумента:

sin 3х = 3 sin x − 4 sin³ x,     cos 3х = 4 cos³ x − 3 cos x.

4. Формулы понижения степени для синуса и косинуса:

5. Функции половинного аргумента:

6. Преобразование суммы функций в произведение:

7. Преобразование произведения функций в сумму:

sin x cos y = ½[sin (x − y) + sin (x + y)],

cos x cos y = ½[cos (x − y) + cos (x + y)],

sin x sin y = ½[cos (x −

y) − cos (x + y)].

Все формулы нужно уметь читать не только «слева направо», но и «справа налево». Так, например, в записи sin ^π/₄ cos x − cos ^π/₄ sin x нужно узнавать sin (^π/₄ − x), а не принимать ошибочно за sin (x − ^π/₄), а в записи  узнавать ctg ^x/₂.

Проверьте себя и напишите, чему равно выражение  Если вы убеждены в том, что это выражение равно тангенсу половинного угла, обратите внимание на то обстоятельство, что выражение, о котором идет речь, неотрицательно, а тангенс половинного угла — знакопеременная функция. Таким образом,

и не следует писать в этом случае ±tg x. То же самое рассуждение можно провести для любой из приведенных выше формул, где перед корнем стоит ±. Мы ставим ±, чтобы «примирить» выражение, стоящее в левой части, которое может быть отрицательным, с неотрицательным корнем. Поставив ±, мы не получаем двузначную функцию; этот символ говорит лишь о том, что для каждого фиксированного x мы обязаны выбрать определенный знак, в зависимости от того, в какой четверти тригонометрического круга оказывается угол, стоящий под знаком функции в левой части формулы.

12.1. Упростите выражение

12.2. Докажите тождество

tg 2α tg (30° − α) + tg 2α tg (60° − α) + tg (60° − α) tg (30° − α) = 1.

12.3. Докажите тождество

12.4. Докажите, что tg (α + β) = 2 tg α, если

sin α cos (α + β) = sin β и α + β ≠ ^π/₂(2n + 1),  α ≠ ^π/₂(2n + 1), .

12.5. Вычислите без таблиц 

cos ^π/₇ cos ^2π/₇ cos ^4π/₇.

12.6. Вычислите без таблиц

tg ^π/₇ tg ^2π

/₇ tg ^3π/₇.

12.7. Докажите, что если  и  то при аВ + bA ≠ 0

12.8. Докажите, что если |sin x| = |k sin у|, где −1 ≤ k ≤ 1, то произведение sin (x + у) sin (x − у) неположительно.

12.9. Докажите, что если sin α + sin β = а, cos α + cos β = b, то

12.10. Дано

2 tg² α tg² β tg² γ + tg² α tg² β + tg² β tg² γ + tg² γ tg² α = 1.

Вычислите sin² α + sin² β + sin² γ.

12.11. Углы α, β, γ образуют арифметическую прогрессию с разностью ^π/₃ . Вычислите

А = tg α tg β + tg β tg γ + tg α tg γ.

12.12. Сумма трех положительных чисел α, β и γ равна ^π/₂. Вычислите произведение ctg α ctg γ, если известно, что ctg α, ctg β и ctg γ образуют арифметическую прогрессию.

12.13. Вычислите без калькулятора и без таблиц

sin 106° + cos 106° ctg 8°.

Глава 13

Тригонометрические уравнения и системы

Простейшие тригонометрические уравнения.

sin x = а, x = nπ + (−1)ⁿ arcsin а, |а| ≤ 1,

cos x =

а, x = 2nπ ± arccos а, |а| ≤ 1,

tg x = а, x = nπ + arctg а,

ctg x = а, x = nπ + arcctg а.

Во всех формулах n — произвольное целое число, т. е. n = 0; ±1; ±2; ±3; ... .

Решения уравнения sin x = а часто удобно записывать в виде двух серий корней:

x = 2nπ + αrсsin а,    x = π(2n + 1) − arcsin а.

Хотя приведенные формулы для решений уравнений sin x = а и cos x = а верны при всех значениях а, удовлетворяющих указанным справа ограничениям, при некоторых а эти формулы дают неудобный ответ.

Так, например, если к уравнению sin x = 1 применить общую формулу, то получим

x = nπ + (−1)^n π/₂.

При n = 2k получим x = 2kπ + ^π/₂

, а при n = 2k + 1 получим x = 2kπ + π − ^π/₂ = 2kπ + ^π/₂. При четном и нечетном n мы пришли к одинаковому ответу. Но этот же ответ можно получить гораздо проще, если не пользоваться общей формулой. Достаточно заметить, что sin x = 1 тогда и только тогда, когда подвижный радиус вертикален и направлен вверх.

Поэтому целесообразно помнить решения уравнений:

sin x = 0, x = nπ;      sin x = 1, x = ^π/₂ + 2nπ;     sin x = −1, x = − ^π/₂ + 2nπ;

cos x = 0, x = ^π/₂ + nπ;      cos x = 1, x = 2nπ;     cos x = −1, x = (2n + 1)π;

tg x = 0, x = nπ;      ctg x = 0, x = ^π/₂ + nπ.