Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

k²x² + kx − 2

будут действительными и один корень по абсолютной величине будет больше 1, а другой по абсолютной величине будет меньше 1?

10.18. Найдите все действительные значения m, для которых неравенство

тx² − 4x + 3m + 1 > 0

удовлетворяется при всех положительных значениях x.

Решите неравенства:

10.19. |x² − 2x − 3| < 3x − 3.

10.20. |x − 3| > |x + 2|.

10.21.

10.22.

10.23.

10.24.

10.25.

10.26.

10.27. 4^x ≤ 3 · 2^√x + x + 4^√x+1.

10.28. 4x² + 3^√x +1 + x · 3^√x < 2x² · 3^√x + 2x + 6.

10.29[10].

Решите неравенства:

10.30. (4x² + 12x + 10)^|x³ − 5x + 2| ≥ (4x² + 12x + 10)^x − 2.

10.31.x^log_аx +1 > а²x.

10.32

[11].

10.33.

10.34.

10.35.

10.36. log₂ (2^x − 1) log_½ (2^x + 1 − 2) > −2.

10.37. log_|x + 6| 2 · log₂(x² − x − 2) ≥ 1.

10.38.

10.39. log_kxx + log_x(kx²) > 0, где 0 < k < 1.

10.40. log_x[log₂(4^x − 6)] ≤ 1.

10.41.

10.42.

10.43. |√2 |x| − 1| · 1ох₂ (2 − 2x²) > 1.

10.44.

10.45. log_x² − 1 (3x − 1) < log_x² − 1 x².

10.46.

10.47. При каких значениях у верно следующее утверждение: «Существует хотя бы одно значение x, при котором удовлетворяется неравенство

2 log_0,5 y² − 3 + 2x  log_0,5 y² − x² > 0»?

10.48. При каких значениях а из неравенства

x² − а(1 + а²)x + а⁴

< 0

следует неравенство

x² + 4x + 3 < 0?

10.49. Для каждого действительного а решите неравенство

10.50. Решите неравенство

(x² + 8x + 15)2^{2 + x} > x² + 7x + 10.

10.51. Определите, какие из чисел −4, −1, 1, 4 являются решениями неравенства

|0,5 − lg 5|x ≤ 0,5 − lg 5.

10.52. Решите неравенство

(√5 − 2)^{x − 6} ≤ (√5 + 2)^√x.

10.53. Решите неравенство

Глава 11

Логарифмические и показательные уравнения и системы

Если а^р, где а и p — действительные числа, существует, то

|a| = |а|^p       (1)

По определению log_а N есть число, удовлетворяющее равенству

где а > 0 и а ≠ 1.

Формулы

(2)

называются формулами потенцирования. Первые две являются неабсолютными тождествами (см. введение к главе 9); при четных n и третья формула оказывается неабсолютным тождеством. Применение этих формул при решении уравнений (под применением формулы мы понимаем замену в уравнении выражения, стоящего в ее левой части, на выражение, стоящее справа) может привести только к приобретению посторонних решений.

Формулы (2), прочитанные справа налево, называются формулами логарифмирования. Чтобы формулы логарифмирования не приводили к потере решений, ими пользуются в виде

log_а хy = log_а |x| + log_а |y|;

log_а ^x/_y = log_а |x| − log_а |y|;

log_а x^2k = 2k log_а |x| (k — целое, k ≠ 0).

Следующие формулы позволяют переходить от логарифма с одним основанием к логарифму с другим основанием:

Если в третьей из этих формул n = 2k, то в правой части нужно писать вместо основания а основание |а|.

Формула

(3)

является неабсолютным тождеством, так как ее правая часть перестает существовать при f(x) = 1, в то время как левая часть при соответствующих значениях x может существовать и обращаться в нуль.

Таким образом, применение формулы (3) может привести к потере решений, при которых f(x) = 1.

При решении уравнений вида

φ(x)^f(x) = φ(x)^g(x)       (4)

нужно воспользоваться условием равенства показателей: если φ(x) ≠ −1, 0, +1, то следствием уравнения (4) является уравнение

f(x) = g(x).           (5)

Пусть x = а — корень уравнения (4). Тогда

φ(а)^f(а) = φ(а)^g(а).

В силу (1) можно записать, что

|φ(а)|^f(а) = |φ(а)|^g(а).

Так как |φ(x)| ≠ 0, 1 и |φ(x)| > 0, то по свойству показательной функции имеем

f(а) = g(а),

т. е. x = а — корень уравнения (5).

Случаи, когда φ(x) равно −1, 0 или 1, нужно рассмотреть отдельно.

Решая уравнение (4), следует иметь в виду, что выражения вида ⁰/₀ и 0⁰ не имеют смысла.

11.1. Найдите log₅ 6, если lg 2 = а, lg 3 = b.

11.2. Найдите lg 122,5, если lg 5 = а, lg 7 = b.

11.3. Решите уравнение

11.4. Для каждого действительного числа а решите уравнение

9^{−|x − 2|} − 4 · 3^−|x − 2| − a = 0.

11.5. Для каждого действительного числа а решите уравнение

144^|x| − 2 · 12^|x| + а = 0.

Решите уравнения:

11.6.

11.7.

11.8.

11.9.

11.10. log₃(3^x − 1) log₃ (3^x + 1 − 3) = 6.

11.11.

11.12.

11.13.

11.14.

11.15. log_0,5xx² − 14 log_16xx³ + 40 log_4x√x = 0.

11.16.

11.17.

11.18.

11.19.  где а > 0, а ≠ 1.

11.20. Найдите неотрицательные решения системы уравнений

Решите системы уравнений:

11.21.

11.22.

11.23.

11.24.

11.25. 

11.26.

11.27.

11.28.

11.29.

11.30.

Глава 12

Тригонометрические преобразования 

Основные тригонометрические формулы.

1. Зависимости между тригонометрическими функциями: