Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

19.16. Даны два числа а и b. Составим последовательность а, b, a_1, b₁, a₂, b₂, ..., а_n, b_n, ..., каждый член которой, начиная с третьего, равен среднему арифметическому двух предшествующих. Докажите, что

и найдите предел этой последовательности.

19.17. Найдите все положительные значения а, для которых все неотрицательные значения x, удовлетворяющие уравнению

cos [(8а − 3)x] = cos [(14а + 5)x]

и расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию.

Глава 20

Суммирование

При решении задач, связанных с последовательностями, приходится доказывать утверждения такого типа: «Для любого целого n ≥ p (где p — целое) справедливо...»

Доказательство этих утверждений базируется на аксиоме индукции.

Пусть для некоторого утверждения А доказаны две теоремы.

Теорема 1. Утверждение А справедливо для n = p.

Теорема 2. Из условия, что утверждение А справедливо для всех p ≤ n ≤ k, следует, что оно справедливо для n = k + 1.

Тогда в качестве аксиомы (она называется аксиомой индукции) принимают, что утверждение А справедливо для всех n ≥ p (n, p и А — целые числа).

Метод доказательства, основанный на использовании аксиомы индукции, называется методом математической индукции.

С помощью метода математической индукции можно доказать формулы

20.1. Докажите неравенство

20.2. В арифметической прогрессии а₁, а₂, ..., а_n первый член равен разности прогрессии: а₁ = d. Считая число n данным, найдите

20.3. Найдите сумму

20.4. Найдите зависимость между натуральными n и А, если

где а ≠ 0, 1, −1.

20.5. Найдите коэффициент при хⁿ

в разложении

(1 + x + 2х² + ... + пхⁿ)².

20.6. Решите неравенство

|x − 2х² + 4х³ − 8х⁴ + ... + (−2)ⁿ − 1хⁿ + ...| < 1.

20.7. Найдите сумму

S_n = 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + ... + n · n!.

20.8. Найдите сумму

S_n = x + 4х³ + 7х⁵ + 10х⁷ + ... + (3n − 2)х²ⁿ − 1.

20.9. Найдите сумму

S_n⁴  = 1⁴ + 2⁴ + 3

⁴ + ... + n⁴,

считая известными формулы для S_n, S_n², S_n³ (см. с. 103).

20.10. Натуральные числа разбиты на группы

(1), (2, 4), (3, 5, 7), (6, 8, 10, 12), (9, 11, 13, 15, 17), ...

Найдите сумму чисел в n-й группе.

20.11. Вычислите выражение

20.12. Найдите сумму

1 + 2 · 2 + 3 · 2² + ... + 100 · 2⁹⁹.

20.13. Найдите сумму ряда

Глава 21

Соединения и бином

Эта глава содержит задачи по комбинаторике, а также задачи, связанные с возведением в степень двучлена ax + b. Выражение (ax + b) называют биномом Ньютона и рассматривают, как правило, его разложение в ряд по степеням x и коэффициенты этого разложения — они зависят от а и b — при различных степенях x.

Комбинаторика изучает всевозможные комбинации из элементов данного конечного множества. Простейшие из таких комбинаций: перестановки, размещения и сочетания.

Перестановки состоят из одних и тех же элементов некоторого множества и отличаются одна от другой только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок для множества, состоящего из n различных элементов, обозначают P(n):

P

(n) = 1 · 2 · 3 · ... · n = n! (1)

Символ n! (читается «эн факториал») обозначает произведение первых n чисел натурального ряда: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, ... . По определению 0! = 1.

Следующий вид комбинаций — размещения из n различных элементов, образующих множество, в группы по k различных элементов в каждой. При этом два размещения считают разными, если они отличаются либо элементами, либо порядком их расположения. Подобные ситуации возникают при размещении постояльцев в гостинице, зрителей в театральном зале, пассажиров в поезде. Число всех возможных размещений по k различных элементов в каждом размещении, формируемых из n различных элементов данного множества, обозначают А_n^k. Имеет место формула:

Сочетания из n элементов по k элементов — комбинации, составленные из данных n элементов и содержащие по k (k ≤ n) элементов в каждой, отличающиеся одна от другой хотя бы одним элементом. С — число сочетаний из n по k:

Наряду с соединениями, в которые каждый из n различных элементов некоторого фиксированного множества входит один раз, можно рассматривать соединения с повторениями, допускающие появление одного и того же элемента более одного раза.

Если задан алфавит из n различных букв и поставлена задача составить всевозможные слова по k букв в каждом, то речь идет о размещениях с повторениями. Обратите внимание на то обстоятельство, что слова могут быть любой длины, а потому нет необходимости в выполнении ограничения k ≤ n. Слова aba и baa считаются различными (входящие в них элементы образуют разные последовательности).

Число  всевозможных различных размещений с повторениями из n различных элементов по k элементов в каждом находится по формуле

Доказывается эта формула с помощью рекуррентного соотношения