Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

которое устанавливается следующим рассуждением. Если первая буква в слове из k букв фиксирована, то в оставшиеся k − 1 ячеек можно разметить буквы  способами. Для каждого из этих способов остается n возможностей для выбора буквы, стоящей на первом месте. В результате мы получим все размещения с повторениями из n по k.

Размещения с повторениями, образованные из n элементов a₁, a₂, ..., а_n так, что каждый из этих элементов входит в размещение по крайней мере один раз, называются перестановками с повторениями. Если известно, что элемент a₁ входит α₁ раз, элемент a₂ входит α₂ раз, ..., элемент a_n входит α_n раз, то число всевозможных таких перестановок обозначают  и оно может быть найдено по формуле

Два сочетания с повторениями из n элементов по k в каждом считаются различными тогда и только тогда, когда они отличаются по крайней мере одним элементом или какой-нибудь элемент входит в эти соединения различное число раз. Число всевозможных сочетаний с повторениями определяется по формуле

вывод которой состоит в доказательстве того факта, что допущение о возможности повторений элементов равносильно увеличению числа элементов, из которых образуются сочетания, на k − 1.

Для любого натурального n справедливы разложения

Для биномиальных коэффициентов справедливы равенства:

21.1. Сколькими различными способами можно усадить за круглый стол n человек, если два способа считаются одинаковыми, когда каждый человек имеет тех же соседей (левый и правый соседи не различаются).

21.2. Имеется одна перестановка из пяти элементов: а₁, а₂, а₃, а₄, а₅. Найдите число всех перестановок из этих элементов, в каждой из которых на первом месте стоит элемент, отличный от а₁, а на втором — элемент, отличный от а

₂.

21.3. Сколько можно образовать семизначных чисел из цифр 1, 2, 3, ..., 8 с тем, чтобы цифра 2 входила в каждое число не меньше, чем три раза?

21.4. Сколько восьмизначных чисел можно образовать из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если в каждом числе цифра 1 содержится три раза, а остальные цифры по одному разу?

21.5. Экскурсанты заказали на пароходе 8 четырехместных кают. Все места в каждой из кают и все каюты равноценны. Сколькими способами могут экскурсанты разместиться в каютах, если их 32 человека?

21.6. Вычислите сумму

21.7. Найдите все значения n, при которых какие-либо три последовательных коэффициента разложения бинома (x + а)ⁿ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

21.8. Найдите число неподобных между собой членов разложения

(а + b + с + d)ⁿ.

21.9. Найдите коэффициент при х^k в разложении

(1 + x + x² + ... + х^{n − 1})².

21.10. Для бинома (¹/₅x + ²/₅)ⁿ найдите натуральный показатель n, если известно, что десятый член разложения этого бинома имеет наибольший коэффициент.

21.11. Определите число отличных от нуля коэффициентов в разложении

(1 + x² + х⁵)²⁰ = а₀ + а₁х + а₂х² + ... + а

₁₀₀х¹⁰⁰.

21.12. Дана последовательность а₁, а₂, а₃, ..., а₁₀. Сколькими способами, сохраняя фиксированный порядок элементов последовательности, ее можно разбить на группы, каждая из которых состоит из одного элемента или двух рядом стоящих элементов?

21.13. На плоскости проведены m параллельных прямых и n прямых, пересекающих эти прямые и друг друга. Никакие три прямые не проходят через одну точку. На сколько областей (частей) эти прямые разбивают плоскость?

Глава 22

Обратные тригонометрические функции

Определения обратных тригонометрических функций приводят к следующим соотношениям.

Если arcsin x = α (−1 ≤ x ≤ 1), то sin α = x и −^π/₂ ≤ α ≤ ^π/₂ .

Если x ≥ 0, то 0 ≤ α ≤ ^π/₂ ; если x ≤ 0, то −^π/₂  ≤ α ≤ 0.

Если arccos x = α (−1 ≤ x ≤ 1), то cos α = x и 0 ≤ α ≤ π.

Если x ≥ 0, то 0 ≤ α ≤ ^π/₂; если x ≤ 0, то ^π/₂ ≤ α ≤ π.

Если arctg x = α, то tg α = x и −^π

/₂ < α < ^π/₂.

Если x ≥ 0, то 0 ≤ α < ^π/₂ ; если x ≤ 0, то −^π/₂ < α ≤ 0.

Если arctg x = α, то ctg α = x и 0 < α < π.

Если x ≥ 0, то 0 < α ≤ ^π/₂; если x ≤ 0, то ^π/₂ ≤ α < π.

Имеют место следующие соотношения[14]:

arcsin x + arccos x = ^π/₂; arctg x + arcctg x = ^π/₂;

arcsin (−x) = −arcsin x; arctg (−x) = −arctg x; arccos (−x) = π − arccos x; arcctg (−x) = π − arcctg x.

22.1. Докажите, что

2 arctg ¼ + arctg ⁷/₂₃ = ^π/₄.

22.2. Представьте выражение

arctg ⁷/₉

+ arcctg 8 + arcsin ^√2/₄

в виде значения функции arcsin x.

22.3. Представьте выражение

arctg (−2) + arcsin ⅓ + arctg (−⅓)

в виде значения лишь одной обратной тригонометрической функции.

22.4. Вычислите сумму

22.5. Найдите

arccos (sin π(x² + x − З)),

если

22.6. Докажите, что если 0 ≤ x ≤ 1, то

22.7. Докажите, что выражение arcsin  не зависит от x, если x < −1, и упростите его в этом случае.

Решите уравнения:

22.8. tg (З arcsin x) = 1.

22.9. arcsin ^3x/₅ + arcsin ^4x/₅ = arcsin x.

22.10. arcsin 2x + arcsin x = ^π/₃.

22.11. arctg (2 + cos x) − arctg (2 cos² ^x/₂) = ^π/₄.

22.12.

22.13. arctg (x − 1) + arctg x + arctg (x + 1) = arctg Зx.