Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Глава 23

Область определения. Периодичность 

Областью определения функции может быть вся числовая ось (у = x², у = sin x), луч с принадлежащей ему граничной точкой (у = √x , граничная точка x = 0 принадлежит области определения x ≥ 0) и с не принадлежащей ему граничной точкой (у = lg x), совокупность интервалов (замкнутых, открытых, полуоткрытых) и отдельных точек.

Важной характеристикой функции является ее периодичность. С помощью периодических функций можно описать явления, повторяющиеся через равные промежутки времени. Функция f(x) называется периодической, если существует такое число T ≠ 0, что для любого значения аргумента x чи́сла x + T и x − T также являются значениями аргумента и выполняется равенство f(x + T) = f(x).

Если T — период f(x) и x — значение аргумента, то x + nТ, где n — целое число, — также значение ее аргумента, а пТ — период функции f(x). В частности, если T — период, то и −T — тоже период.

Наименьший положительный период называется основным периодом.

23.1. Найдите область определения функции

23.2. Найдите область определения функции

log₃ log_½ (x² − x − 1).

23.3. При каких значениях x выражение  принимает действительные значения?

23.4. Найдите область определения функции

arccos (x² − 3х + 1) + tg 2х.

23.5. Где расположены точки плоскости, для координат которых выражение

принимает действительные значения ?

23.6. Докажите, что функция у = cos x² не является периодической.

23.7. Докажите, что если функция

f(x) = sin x + cos аx

периодическая, то а — рациональное число.

23.8. Найдите основной период функции

у = cos ^3x/₂ − sin ^x/₃.

Глава 24

Наибольшие и наименьшие значения

24.1. Найдите все значения x, при которых функция

sin x − cos² x − 1

принимает наименьшее значение.

24.2. Найдите наибольшее значение функции

у

= sin 2х sin (2х − ^π/₆).

При каких значениях x оно достигается?

24.3. Найдите наибольшее значение функции

у = sin x cos² x − sin³ x cos x.

24.4. При каких значениях x и у выражение

2х² + 2ху + у² − 2х + 2у + 2

имеет наименьшее значение. Найдите это наименьшее значение.

24.5. Найдите наименьшее значение выражения

у = |х² − 1| + |х² − 4| + |x + 2| + |x + 1|.

24.6. Найдите наименьшее значение функции

у = х⁷ + ^a/_7x, где x > 0, а > 0.

24.7. В круг радиусом R вписывается данный угол α. Какими должны быть длины хорд, образующих этот угол, чтобы их сумма была наибольшей?

24.8. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с площадью, равной 2 м², а высота призмы равна гипотенузе основания. Какими должны быть стороны основания, чтобы боковая поверхность призмы была наименьшей?

24.9. Найдите сторону наибольшего из квадратов, внутренние точки которых находятся внутри правильного шестиугольника со стороной а.

24.10. Найдите наибольшее значение дроби  если x может принимать любые действительные значения.

24.11. Контейнер для приборов должен быть сконструирован в форме прямоугольного параллелепипеда объемом 7,2 м³, причем площадь полной поверхности контейнера не должна превышать 24 м² при условии, что периметр основания не станет менее 10 м. Найдите размеры такого контейнера.

24.12. Найдите наименьшее значение функции

у = ctg² (α − x) + ctg² (α + x), 0 < α < ^π/₂.

24.13. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

arcsin³ x + arccos³ x.

24.14. Найдите наименьшее значение функции

у = 2 sin² x − 3 sin 2x + 10 cos² x.

24.15. Найдите наименьшее значение суммы у + w, если x, у, z, w удовлетворяют системе

Указания

Первые указания

K главе 1

1.1. Если через точку D₁ касания окружностей провести их общую касательную, то, пересекая продолжения сторон ВА₁ и ВС₁, она образует треугольник А₁ВС₁ (рис. I.1.1). Воспользуйтесь тем, что OD = DD₁ = ^R/₂

, а O₁D₁ = ^BD₁/₃.

1.2. В треугольнике АОВ (O — центр вписанной окружности, рис. I.1.2) угол ВАО равен ^α/₂ , а угол ВОА равен сумме углов OAD и ODA, т. е. равен ^π/₂ + ^α/₂ . По условию BO = m, так как BD = r + m. Поэтому решение удобно начать с определения AB из треугольника BOA.

1.3. Вначале нужно выяснить смысл выражения «окружность делит сторону треугольника пополам». Если окружность имеет со стороной треугольника две общие точки, то ни про одну мы не сможем сказать, что она делит отрезок пополам, поскольку отрезок разделится на три части.

1.4. Отношение площади треугольника А₁В₁С₁ к площади треугольника АВС (рис. I.1.4) можно записать так:

Теперь нужно найти каждое из отношений, входящих в правую часть.

1.5. Углы определяют треугольник лишь с точностью до подобия. Если ввести в рассмотрение один линейный элемент и выразить через него обе площади, то при подсчете отношения площадей этот элемент сократится. В качестве такого линейного элемента удобно выбрать радиус r вписанной в треугольник окружности.