Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

log_{|x + 6|}(x² − x − 2) ≥ 1. (!)

10.38. Если обозначить log_аx = у, то получим простое неравенство относительно у.

10.39. Перейти к общему основанию k.

10.40. Вообще говоря, нужно рассмотреть случаи, когда основание x больше единицы и когда оно находится между нулем и единицей. Однако внимательное изучение данного неравенства позволяет рассмотреть только один из этих случаев.

10.41. Поскольку основание логарифма больше единицы, данное неравенство эквивалентно требованию, чтобы число, стоящее под знаком логарифма, было не меньше единицы.

10.42. Чтобы упростить это неравенство, нужно рассмотреть два случая, в зависимости от того, больше или меньше единицы основание логарифма. Однако правильное использование условия позволяет исключить случай

0 < (x − 1)² < 1.

10.43. Полезно обратить внимание на то обстоятельство, что первый сомножитель положителен. Следовательно, и второй сомножитель тоже должен быть больше нуля.

10.44. Нужно начать с приведения логарифмов к основаниям 2 и 3.

10.45. Поскольку неизвестно, как расположено выражение, стоящее в основании логарифма, относительно 1, то придется рассмотреть два случая: 0 < x

² − 1 < 1 и x² − 1 > 1. (!)

10.46. Поскольку мы ищем как решения, при которых основание положительно, так и решения, при которых оно отрицательно, удобно начать с определения тех интервалов изменения x, где основание сохраняет свой знак.

10.47. Если у ≠ 0 фиксировано, то данное неравенство является обычным квадратным неравенством относительно x. Остается записать условие, при котором это квадратное неравенство имеет решение.

10.48. Прежде чем приступить к «техническому» решению задачи, ответьте на вопрос, следует ли из неравенства 3 < 2, например, теорема синусов?

10.49. Чтобы составить план решения, нужно рассмотреть строгое неравенство:

Корень в левой части этого неравенства существует и положителен при x < а. Поэтому оно равносильно системе

10.50. Разложить оба квадратных трехчлена на множители и общий множитель вынести за скобки.

10.51. Откажитесь от идеи непосредственной проверки данных в условии чисел путем их подстановки в неравенство. Проще это неравенство решить. (!)

10.52. Обратите внимание, что числа √5 + 2 и √5 − 2 при перемножении дают 1, т. е. эти числа взаимно обратны.

10.53. Обозначив log₂x = у, можно привести неравенство к виду

1 + у

² ≤ |у| (4x − x² − 2).

В выражении в скобках нужно выделить полный квадрат.

K главе 11

11.1. С помощью формулы перехода к другому основанию можно выразить искомое число через десятичные логарифмы.

11.2. Число 1225 нужно разложить на простые множители. (!)

11.3. Перенести степени с основанием 2 в правую часть уравнения, а с основанием 3 в левую. После преобразований уравнения его правая часть может быть записана как 2 в некоторой степени, а левая — как степень числа 3.

11.4. Обозначить 3^−|x − 2| = у и исследовать квадратное уравнение.

11.5. Обозначить 12^|x| = у. При исследовании учесть, что не только дискриминант не должен быть отрицательным, но и найденные значения у не могут стать меньше 1. (!)

11.6. Уравнение можно переписать в виде

Прежде чем прологарифмировать, удобно получить в правой части единицу. (!)

11.7. Использовать тот факт, что числа 2 + √3 и 2 − √З взаимно обратные

11.8.

Уравнение примет более симметричный вид, если разделить обе его части на 2^x.

11.9. Отдельно рассмотреть случаи, когда основание равно 0, 1, −1. (!)

11.10. Привести к одинаковому числу под знаком логарифма.

11.11. С помощью формулы log_ab = log_a^k b^k можно добиться того, что в уравнение будут входить только log_x7 и log₇x.

11.12. Если уравнение прологарифмировать по основанию 3, то мы получим уравнение третьей степени относительно log₃x. (!)

11.13. Уравнение легко преобразовать в иррациональное с помощью замены у = log_x 3. (!)

11.14. Так как 2 log_x

2 = log_x 4, то после умножения обеих частей уравнения на log₄x оно упростится. Нарушится ли при этом равносильность?

11.15. Вид уравнения подсказывает, что для его решения удобно перейти к логарифмам с общим основанием x. Равносильное ли получится уравнение?

11.16. В уравнение входят логарифмы выражения 3 + x при разных основаниях. Его можно упростить, если воспользоваться формулой

11.17. При решении удобнее следить за равносильностью, чем делать в конце проверку, которая окажется здесь достаточно громоздкой.

11.18. Если log_√bx записать при основании а, то уравнение упростится.

11.19. Если в каждом из подкоренных выражений произвести логарифмирование с переходом к общему основанию а, то это позволит выделить под радикалами полные квадраты. Очевидно, такие же ограничения, как на а, должны быть наложены и на x.

11.20. Система не может иметь решений, в которых хотя бы одно неизвестное обращается в нуль (докажите). Следовательно, каждое уравнение можно прологарифмировать.

11.21. Поскольку нам известно, чему равно x^у, то второе уравнение целесообразно возвести в степень у.