Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

11.22. Из вида системы следует, что x и у положительны. Так как в левых частях уравнений одинаковые показатели степени, то целесообразно попытаться их найти.

11.23. Так как 11^xz : 11^z = 11^(x − 1)z, то с помощью этого соотношения можно получить уравнение относительно .

11.24. Так как коэффициенты в левых частях уравнений одинаковы (двойку во втором уравнении можно убрать, прибавив единицу к показателю степени), то целесообразно посмотреть, нет ли у левых частей общего множителя.

11.25. Вначале нужно перейти к общему основанию у логарифмов, а затем получить систему двух алгебраических уравнений.

11.26. Способ 1. Систему можно решить подстановкой, выразив из второго уравнения у через x.

Способ 2. Воспользоваться равенством а^log_bc = с^log_bа .

11.27. Решение системы нужно начать с использования ограничений, что позволит сократить число рассматриваемых случаев.

Из второго уравнения следует, что x и у — величины одного знака. Поскольку должен существовать log

₂ (x + у), то x и у положительны. Сумму x + у легко сравнить с единицей.

11.28. Это — алгебраическая система относительно u = log₂x и v = log₂(у + 1). (!)

11.29. Оба уравнения можно упростить с помощью формулы

log_a^kN = ¹/_k log_aN (а > 0, а ≠ 1).

11.30. Первые два уравнения можно рассматривать как систему относительно соответствующих степеней тройки. Нетрудно заметить, что это позволит найти x

.

K главе 12

12.1. Выражения, стоящие в квадратных скобках, существенно упростятся, если раскрыть скобки и выполнить возведение в степень. (!)

12.2. Это тождество по структуре похоже на формулу тангенса суммы. Чтобы заметить это, достаточно переписать его так:

tg 2α [tg (30° − α) + tg (60° − α)] = 1 − tg (60° − α) tg (30° − α).

12.3. Перенести ctg x в левую часть и преобразовать вместе с ½ tg ^x/₂.

12.4. Поскольку нам нужно получить соотношение, в котором участвуют α + β и α, то вместо sin β удобно записать sin [(α + β) − α] и воспользоваться формулой синуса разности. (!)

12.5. Домножить и разделить на 2 sin ^π/₇ и воспользоваться формулой синуса двойного угла. (!)

12.6. Вычислить произведение косинусов этих углов можно, если домножить и разделить его на 2 sin ^π/₇. После этого нужно трижды последовательно воспользоваться формулой синуса двойного угла (см. задачу 12.5).

12.7. Удобнее доказать, что правая часть равна левой. Для этого стоящее в правой части выражение нужно преобразовать с учетом данных равенств.

12.8. В произведении sin (x + у) sin (x −

у) удобно раскрыть синус суммы и синус разности.

12.9. Выразить дробь, стоящую в правой части последнего равенства, через синусы и косинусы α и β.

12.10. Данное выражение и выражение, которое нужно вычислить, симметричны относительно α, β и γ. Левую часть данного равенства удобно выразить через sin²α, sin²β, sin²γ.

12.11. Подставить β = α + ^π/₃, γ = α + ^2π/₃ и записать данное выражение через синусы и косинусы.

12.12. Так как ctg α, ctg β и ctg γ образуют арифметическую прогрессию, то ctg α + ctg γ = 2 ctg β. Если теперь вспомнить, что β = ^π/₂ − (α + γ), то можно получить соотношение, не зависящее от ctg α + ctg γ. (!)

12.13. cos 106° = cos (90° + 16°) = −sin 16° = −2 sin 8° cos 8°.

K главе 13

13.1. Множитель √2 sin (x + ^π/₄) замените на sin x + cos x.

13.2. Левую часть можно преобразовать так, чтобы она содержала множителем выражение, стоящее в правой части.

13.3. Выразить левую часть уравнения через sin x

и cos x так, чтобы оказалось возможным разложение ее на множители.

13.4. Если преобразовать в сумму произведение синусов двух функций и произведение косинусов этих же функций, то получим сопряженные выражения. Поэтому целесообразно заменить тангенсы через синусы и косинусы соответствующих аргументов.

13.5. Если записать ¹/_{tg x} вместо ctg x, то после простых преобразований (следите за их равносильностью) придем к распадающемуся уравнению.

13.6. Прибавить к левой и правой частям уравнения tg 3x. Тогда слева можно вынести за скобки число 3, а справа tg 3x.

13.7. Нетрудно заметить, что множитель sin (x + ^π/₄) можно вынести в левой части уравнения за скобки, так как он получается при преобразовании суммы sin x + cos x в произведение.

13.8. Перенести tg 2x в правую часть и привести обе части уравнения к виду, удобному для логарифмирования.

13.9. Избавиться от иррациональностей с помощью перехода под радикалами к функциям половинного аргумента. Использовать условие, что 0 < x < 2π, и постараться раскрыть знаки абсолютной величины.

13.10. Перенести sin α в левую часть и привести полученную сумму к виду, удобному для логарифмирования. Стоящий в правой части sin x выразить через функции половинного аргумента.

13.11. Рассмотреть случаи, позволяющие раскрыть знаки абсолютной величины; задача сведется к решению двух уравнений и к выбору тех значений x, которые попадают в указанный интервал.