Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

13.12. Вначале следует посмотреть, не стоит ли под радикалом полный квадрат какого-то выражения. Число 16 нам, скорее всего, не помешает, а вот число 17 менее удобно для последующих преобразований. Чтобы освободиться от его присутствия, удобно вынести под радикалом sec² x за скобки, а оставшееся в скобках выражение записать через sin x.

13.13. Перенести все члены уравнения в левую часть и разложить на множители с тем, чтобы появилась возможность избавиться от большинства радикалов.

13.14. Выразить sin 4x через tg 2x. Это тождество условное, поэтому нужно убедиться в равносильности полученного уравнения данному.

13.15. Перейти к функциям sin x и cos x.

13.16. Правую часть уравнения можно сократить на cos 2x, добавив условие cos 2x ≠ 0.

13.17. С помощью универсальной подстановки (через тангенс половинного угла) это уравнение может быть сведено к кубичному уравнению относительно у = tg ^x/₂. Равносильное ли получится уравнение?

13.18. Понизить степень.

13.19. Левую и правую части можно привести к виду, удобному для логарифмирования.

13.20. Уравнение упростится, если преобразовать произведения, стоящие в левой его части, в разность косинусов. Оно станет квадратным относительно у = cos x. (!)

13.21. Выразить sin 4x через sin x

и cos x и вынести sin x за скобки после переноса в левую часть.

13.22. Раскрыть скобки и каждое из ста произведений преобразовать в сумму. (!)

13.23. Каждое произведение преобразовать в разность косинусов. (!)

13.24. Выразить cos 4x + 1 через cos 2x.

13.25. Произведение косинусов может равняться единице, если либо оба косинуса равны единице, либо оба равны минус единице.

13.26. Представить единицу в виде sin² x + cos² x.

13.27. Уравнение таково, что не остается надежд на упрощения в результате тригонометрических преобразований. Поэтому следует попытаться воспользоваться оценками. Во-первых, выражение, стоящее в левой части, всегда неотрицательно, кроме того, cos⁴ x ≥ 0; следовательно, и cos 3x ≥ 0. Во-вторых, слева стоит сумма квадратов, которую разумно дополнить до полного квадрата.

13.28. Обратить внимание на то обстоятельство, что левая часть уравнения не может стать меньше единицы, а правая не может превзойти единицу.

13.29. Второе уравнение легко свести к виду sin (2x − у) = 0, откуда у = 2x − πk. При подстановке в первое уравнение получим

4 tg 3x = 3 tg 4x.

Это уравнение удобнее преобразовать к виду

4(tg 4x − tg 3x) = tg 4x,

чем к виду

3(tg 4x − tg 3x) = tg 3x,

так как множитель 4 удобнее при тригонометрических преобразованиях.

13.30. Второе уравнение легко решается преобразованием его левой части в разность косинусов; в результате получится соотношение 2у = ^π/₂ − x + kπ. Прежде чем им воспользоваться, следует первое уравнение привести к виду, удобному для логарифмирования.

13.31. Левые части первого и второго уравнений нетрудно выразить через u = sin x и v = sin у.

13.32. Второе уравнение существенно упростится, если его левую часть преобразовать в сумму.

13.33. Из системы можно исключить x, если воспользоваться основным тригонометрическим тождеством

sin² φ + cos² φ = 1.

13.34. Нужно вначале решить первое уравнение, решение которого находится обычным путем. Найденное значение подставить во второе уравнение.

13.35.

Разделив второе уравнение на первое, получим tg у = 2 tg x.

13.36. Удобно перейти к уравнениям относительно одной тригонометрической функции. При этом нужно следить за равносильностью.

13.37. Если возвести каждое уравнение в квадрат и полученные уравнения сложить, то мы исключим α. Однако для нас важнее исключить либо x, либо у. Как это сделать?

13.38. Левую часть первого уравнения можно преобразовать в разность sin (x − у) − cos (x + у). Из второго уравнения определяется cos (x + у).

13.39. Правая часть уравнения не может стать больше четырех. Если ввести обозначения tg² x = u, tg² у = v, то нетрудно заметить, что левая его часть не может стать меньше четырех.

13.40. Способ 1. Умножить sin² x на тригонометрическую единицу sin² 3x + cos² 3x и сгруппировать члены, содержащие sin² 3x.

Способ 2. Перенести все члены в левую часть и выделить полный квадрат разности 2 sin x

− sin² 3x. Оставшиеся члены образуют неотрицательное выражение.

13.41. Способ 1. Преобразовать сумму тригонометрических функций cos x + cos у в произведение, а cos (x + у) выразить через косинус половинного аргумента.

Способ 2. Раскрыть cos (x + у) по формуле косинуса суммы.

13.42. Вопрос задачи естественно поставить следующим образом: при каких а и b равенство

tg x + tg (а − x) + tg x tg (а − x) = b

является тождеством (неабсолютным)?

13.43. Вначале следует попытаться оценить снизу левую часть уравнения, так как верхняя оценка правой части очевидна:

12 + ½ sin у ≤ 12,5.

13.44. Перенести sin Зx в левую часть уравнения и преобразовать sin x − sin Зx к виду, удобному для логарифмирования.

13.45. После раскрытия скобок произвести упрощения.