Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

15.9. Второй сомножитель неотрицателен при всех x, следовательно, неравенство может удовлетворяться лишь при положительных значениях первого сомножителя. Если произведение двух положительных чисел не меньше единицы, то хотя бы одно из них не меньше единицы.

15.10. Обозначим первый сомножитель через А, а второй через В. Так как А ≥ 0, то неравенство равносильно совокупности двух систем:

K главе 16

16.1. Правая часть уравнения не может стать меньше двух. Сравнить с оценкой левой части. (!)

16.2. Это уравнение легко привести к квадратному относительно 2^tg²x. (!)

16.3. Перейти к общему основанию. Не нарушится ли при этом равносильность?

16.4. Поскольку в левой части уравнения стоит произведение синуса и косинуса от одного аргумента, удобно воспользоваться формулой синуса двойного угла. Записать, чему равен аргумент.

16.5. Перейти к уравнению без логарифмов, позаботившись о сохранении ограничений.

16.6. Ввести вспомогательное неизвестное и преобразовать данное уравнение в квадратное. (!)

16.7. От этого уравнения легко перейти к тригонометрическому. При этом нужно учесть все ограничения, которыми логарифм связывает число и основание.

16.8. Уравнение равносильно уравнению  при условии, что cos² x ≠ ¹/₈.

16.9. Перейти к уравнению 5π(½)^x = ^π/₄ + πk и найти все k, при которых это равенство возможно.

16.10. Вначале решить квадратное уравнение относительно lg cos x. Затем найти cos x и на этом шаге провести исследование.

16.11. Решить квадратное уравнение и учесть все ограничения на параметр а

в связи с появлением радикала и синуса.

16.12. Данную систему нужно заменить системой без логарифмов. Однако при этом следует помнить обо всех ограничениях, которые накладываются на число, стоящее под знаком логарифма, и на основание логарифма.

16.13. Уравнение составлено таким образом, что решить его с помощью элементарных преобразований нельзя. Остаются два пути: либо графическое решение, либо оценка правой и левой частей уравнения. Второй путь предпочтительнее, так как левая часть легко оценивается, если положить 4^{cos² − πx} = u.

16.14. Трехчлен x² − x + 0,5 всегда больше 0,25.

K главе 17

17.1. Данную систему решить относительно f(2x + 1) и g(x − 1).

17.2.f(x) = x(x² − 6x + 9) = x(x − 3)²,

f(f(x)) = f(x) (f(x) − 3)² = x(x − 3)²(x

³ − 6x² + 9x − 3)².

17.3. Из второго уравнения найти 2 и подставить в первое. Воспользоваться условием, что x и у — целые числа.

17.4. Неравенство |x + 2| ≤ x + 2 удовлетворяется при всех x ≥ −2.

Уравнение следует преобразовать с помощью подстановки

2^{x − 1} = у,  sin ^πx/₂ = 2.

17.5. Найти первообразную F(x) и воспользоваться условием касания графиков функций f(x) и F(x) в некоторой точке F₀(x₀; у₀).

17.6. Данное неравенство равносильно такому:

Рассмотрите случаи: а) 0 < x − у < 1 и б) x

− у > 1.

17.7. Изобразите на графике часть плоскости, координаты точек которой удовлетворяют первому неравенству, для каждого квадранта отдельно. Для первого квадранта это будут все его точки.

17.8. Начать нужно с определения координат точки E. Для этого придется записать уравнение прямой, проходящей через две точки (x₁, у₁) и (x₂, у₂):

сначала для точек В и D, затем для точек А и C. Решение системы этих двух уравнений даст нам координаты точки E.

17.9. Оба неравенства зависят от x + у и от у − x. Это подсказка побуждает ввести новые переменные u = x + у и v = у − x.

17.10. Если x₁

и x₂ — целые, то и а — целое. (Докажите.)

17.11. Это биквадратное уравнение, и оно сводится к квадратному подстановкой x² = у. Знак дискриминанта квадратного уравнения не позволяет ответить на вопрос о числе корней исходного уравнения. Нужно позаботиться, чтобы у ≥ 0.

17.12. Поскольку cos 8x = 1 − 2 sin² 4x, исходное уравнение преобразуется в квадратное относительно у = sin 4x, где |у| ≤ 1.

17.13. Подставив любые значения x и а в данное уравнение, получим соответствующее единственное значение у. Таким образом, при любом фиксированном а любая прямая, параллельная оси у, пересечет кривую семейства, соответствующую этому а, в единственной точке. Это не означает, что через каждую точку плоскости (x, у) проходит кривая семейства. Не при любом у мы найдем точки плоскости (x, у), соответствующие данному семейству.

K главе 18

18.1. Если ввести в качестве неизвестных производительности труб, то получим три уравнения с четырьмя неизвестными (объем бассейна следует принять за единицу).

18.2. Если плечи весов равны l₁ и l₂, то можно вычислить массу P товара, отпущенного покупателю.

18.3. Эта задача менее всего похожа на «алгебраическую». Скорее, она напоминает рассуждения человека, пытающегося обнаружить факт на основе отрывочных сведений. Вначале следует обратить внимание на то обстоятельство, что листов в альбоме — число целое. После этого нужно использовать условие задачи с тем, чтобы ограничить рассмотрением возможные значения этой переменной.