Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

21.5. Легче найти число всевозможных размещений экскурсантов по каютам в предположении, что каюты неравноценны. Пусть таких размещений будет N, а размещений, о которых идет речь в задаче, K. Поскольку из каждого размещения экскурсантов по равноценным каютам можно получить 8! размещений по неравноценным каютам, то K · 8! = N.

21.6. В записи k-го члена суммы произвести сокращение на k.

21.7. Нужно найти такие n, для которых равенство

выполняется при некотором k.

21.8. Представить а + b + с + d в виде (а + b) + (с + d) и осуществить возведение в n-ю степень по правилам возведения в степень двучлена.

21.9. Коэффициент при x^k будет равен числу членов, содержащих x^k при почленном перемножении двух одинаковых многочленов. Придется различать случай, когда члены, содержащие

x^k, могут быть получены в результате умножения друг на друга членов суммы 1 + x + x² + ... + x^{k − 1} + x^k (0 ≤ k ≤ n − 1), от случая, когда n − 1 < k ≤ 2(n −1).

21.10. Записать выражение для общего члена разложения и сравнить с выражением для десятого члена разложения.

21.11. Сгруппировать члены внутри скобки и последовательно дважды применить формулу бинома.

21.12. Если обозначить через Р_n число способов, которыми можно разбить на группы последовательность из n элементов, то можно получить рекуррентную формулу для Р_n.

21.13. Если на плоскости проведены m параллельных прямых, то они разбивают плоскость на m + 1 частей. Когда мы пересечем их некоторой прямой, то каждая часть разобьется на две. Что произойдет, если к уже проведенным k непараллельным прямым добавить еще одну?

K главе 22

22.1. Перенести acrtg ⁷/₂₃ в правую часть, после чего оценить значения обеих частей с тем, чтобы они попали в интервал (0, ^π

/₂). (!)

22.2. Каждое из двух первых слагаемых лежит в интервале (0, ^π/₄). Это позволяет воспользоваться формулой тангенса суммы и заменить два первых слагаемых одним.

22.3. Начать нужно с представления в виде значения одной тригонометрической функции первого и третьего слагаемых. Чтобы их сумма попала в область главных значений арккотангенса, придется прибавить к ней π. (!)

22.4. Если 0 ≤ x ≤ 1, то сумма существует и лежит в интервале [0, π], т. е. в интервале монотонности косинуса.

22.5. Начать нужно с выяснения, в каком интервале лежит π(x² + x − 3), если 0 ≤ x ≤ ^{√3 − 1}/₂.

22.6. Убедившись в существовании арксинусов при 0 ≤ x ≤ 1, перенести ^π/₄ в левую часть, а вычитаемое — в правую, затем доказать, что левая часть равенства будет лежать в интервале монотонности синуса. (!)

22.7. Так как x < −1, то значение каждой функции, входящей в правую часть, можно уточнить с тем, чтобы сумма попала в интервал монотонности синуса и тангенса. (!)

22.8. Из данного уравнения можно найти значения arcsin x. Из этих значений остается выбрать те, которые лежат в области значений арксинуса. (!)

22.9. Поскольку arcsin x — нечетная функция, то одновременно с корнем x уравнение имеет корень −

x. Это позволяет искать лишь неотрицательные корни.

22.10. Из условия следует, что x > 0. Левая часть заключена в интервале [0, π], который является интервалом монотонности косинуса.

22.11. Воспользовавшись тем, что 2 + cos x > 0 и 2 cos² x/₂ ≥ 0, можно уточнить интервал значений левой части уравнения.

22.12. Левая и правая части лежат в интервале монотонности синуса. (!)

22.13. Уточнение интервалов с тем, чтобы получить равносильное уравнение, приведет к нерациональному способу решения. Проще перенести, например, arctg (x + 1) в правую часть и взять котангенсы от обеих частей. Каким образом может быть нарушена равносильность?

K главе 23

23.1. Поскольку sin x ≤ 1, то log₃ sin x ≤ 0. (!)

23.2. В указанной последовательности действий первое ограничение накладывается на трехчлен x² − x − 1, он должен быть положительным. Следующее ограничение накладывается уже на log_½ (x² − x − 1). (!)

23.3. Нужно пройти всю последовательность действий, начиная с самого внутреннего, и записать все встречающиеся при этом ограничения. (!)

23.4. Найдя область определения функции arccos (x² − 3x

 + 1), исключить точки, в которых не существует tg 2x. (!)

23.5. Решить графически систему неравенств, обеспечивающих существование данного выражения. (!)

23.6. Способ 1. Доказательство можно вести от противного, предположив, что функция имеет период T.

Способ 2. Найти корни функции и исследовать их в предположении, что у функции имеется период.

23.7. Записать тождество, равносильное условию, что f(x) имеет своим периодом число T. Рассмотреть это тождество при x = 0 и x = ±T. (!)

23.8. Ясно, что любое общее кратное периодов cos ^3x/₂ и sin ^x/₃ будет периодом данной функции. Доказать, что наименьшее общее кратное будет основным периодом.

K главе 24

24.1. Заменить cos² x на 1 − sin² x. В результате получится квадратный трехчлен относительно sin x.

24.2. Записать у как одну функцию другого аргумента.

24.3. Привести к одной тригонометрической функции другого аргумента.