Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

9.36. Уравнение равносильно системе

У первого уравнения есть корни

Остается выяснить, когда их два, а когда один, а также, при каких а для каждого из них удовлетворяется участвующее в системе неравенство.

9.37. Для упрощения симметрических многочленов применяют подстановку x + ¹/_x = t. Здесь возможна похожая подстановка. Наличие в числителе каждой дроби множителя x упрощает решение.

9.38. Вы упростите вычисления, если обратите внимание, что 84 693 делится на 327.

K главе 10

10.1. Ввести обозначения а = 1 + k и b = 1 − k.

10.2. Обозначим выражение, стоящее в левой части неравенства, через P. Разделив его на а₁а₂...а_n = 1, после несложных преобразований получим

Для оценки P удобно рассмотреть теперь Р² и заметить, что

10.3. Способ 1. Воспользоваться тем, что с

> а и с > b, и оценить каждое слагаемое.

Способ 2. Применить свойство показательной функции, приняв во внимание, что а < с, b < с.

10.5. Использовать условие а + b + с = 1, чтобы убедиться, что неравенство будет обязательно строгим.

10.7. Показательная функция (^a/_b)^x , в силу условия задачи, является возрастающей.

10.8. Применить неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к произведению каждых двух чисел, равноотстоящих от концов в выражении n!.

10.9. Способ 1. В неравенстве (1 − u)(v − 1) > 0 (см. указание I на с. 141) раскрыть скобки и воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим чисел uv и w.

Способ 2. Воспользоваться неравенством ^u/_v + ^v

/_u > 2 (сложить его с полученным в указании I).

10.10. Оценить произведение (p − а)(p − b)(p − с) суммой этих чисел можно, воспользовавшись неравенством

xyz ≤ ^{(x + y + z)³}/₂₇ .

10.12. Зная выражения у + z и уz через x, можно записать квадратное уравнение с коэффициентами, зависящими от x, корнями которого будут у и z.

10.13. Выразив у + z и уz через x, придем к квадратному уравнению, коэффициенты которого зависят от x. Поскольку в условии сказано, что x, у

и z — действительные числа, дискриминант полученного уравнения не должен быть отрицательным. (!!)

Найденные границы изменения x, в силу симметрии данных уравнений, распространяются на у и z.

10.15. Чтобы данный трехчлен был отрицательным внутри некоторого отрезка, необходимо и достаточно, чтобы на концах отрезка он принимал неположительные значения.

10.16. Доказать, что условие а > 0 несовместно с требованием, в силу которого оба корня больше а.

10.17. Так как k ≠ 0 (иначе условие задачи неосуществимо), то парабола должна иметь один корень в интервале (−1, +1), а другой вне этого интервала.

Такое расположение параболы имеет место тогда и только тогда, когда значения трехчлена в точках −1 и 1 противоположны по знаку.

10.18. Если ветви параболы будут направлены вверх и, кроме того, парабола не будет пересекать положительную полуось Оx, то мы получим расположение параболы, необходимое и достаточное для выполнения условия задачи.

10.22. Числитель и знаменатель полученной дроби должны иметь разные знаки. Приходим к совокупности двух систем.

10.23. Неотрицательный множитель можно отбросить, исключив точки, в которых он обращается в нуль. Оставшееся неравенство удобно привести к виду, в котором правая и левая части неотрицательны, и возвести в квадрат с учетом соответствующих ограничений.

10.24. При x > 0 данное неравенство можно возвести в квадрат (учтя соответствующие ограничения), так как обе его части положительны. При x < 0 неравенство исследуется аналогично.

10.25. Составить квадратное неравенство относительно

10.26. Нельзя забывать о том, что под корнем должно стоять неотрицательное число, в то время как само а может быть и отрицательным.

10.27. Данное неравенство можно переписать в виде

2^2x ≤ 3 · 2^√x · 2^x+ 4 · 2^2√x.

Поделив на 2^√x · 2^x

, получим неравенство, сводящееся к квадратному.

10.29. При x < 0 неравенство может удовлетворяться лишь при условии, что ^2x − 1/_{3 − x} = n — целое. Отберите те значения n, при которых число x оказывается отрицательным, и ответьте на вопрос, что будет при x = 0.

10.30. Выражение х³ − 5х + 2 легко разложить на множители методом группировки: (х³ − 4х) − (x − 2).

10.31. Нужно рассмотреть два случая в зависимости от расположения а относительно единицы.

10.32. Случай x = 0 исследуется непосредственной подстановкой. При x < 0 показатель степени должен быть целым числом. Здесь придется рассмотреть подслучаи в зависимости от того, будет ли это целое число четным или нечетным.

10.35. Если после приведения всех логарифмов к общему основанию перенести все члены неравенства в одну часть, то полученное выражение разлагается на множители, одним из которых будет 2 log₅ x + 1.

10.36. Обозначив log₂ (2^х − 1) = y, можно привести это неравенство к квадратному.

10.38. После решения алгебраического неравенства нужно вернуться к прежним обозначениям. При этом приходится рассмотреть различные случаи в зависимости от величины а.