Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

19.4. Воспользоваться тем, что log_x ^b/_a = log_x ^с/_b (числа a, b, с образуют геометрическую прогрессию).

19.5. Вынести за скобки ⁷/₉.

19.6. Под знаком квадратного корня стоит полный квадрат ¹/₉(10²ⁿ − 2 · 10ⁿ + 1).

19.7. После исключения получим уравнение относительно а1 и а₃, из которого следует, что а₁ = а₃.

Так как а₁ = а₃, то  Рассмотрите систему: а₁ = а₂, а₂

= а₃.

19.9. Теорема Виета, записанная для данного уравнения, приведет к системе уравнений относительно x₁ и q (уравнение, в которое входит а, можно не рассматривать). Удобнее найти сначала q.

19.10. Записать произведение n первых членов и воспользоваться тем, что а₁ = √2.

19.11. Если цифру сотен обозначить через а, а разность прогрессии — через d, то число делится на 5, когда либо а + 2d = 0, либо а + 2d = 5; оно же делится на 9, если а + (а + d) + (а + 2d) делится на 9. Остается воспользоваться тем, что а, а + d и а + 2d — цифры.

19.13. B задаче спрашивается, сколько комбайнов было в колхозе. Эту величину мы обозначим через n

. Условия задачи позволяют составить три уравнения. При этом левая часть уравнения, соответствующего работе по плану, представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. (!!)

При решении системы уравнений нужно исключить x и y.

19.14. При решении уравнений нужно иметь в виду, что нас интересуют только а и q.

19.15. Двух уравнений достаточно для решения задачи, так как нас интересуют не сами числа а, b и с, а отношение каких-либо двух из них. Поскольку полученные результаты использования условий задачи уравнения однородны относительно а, b и с, то определить интересующую нас величину нетрудно.

19.16. Так как предел (¼)ⁿ при n → ∞ равен нулю, то а_n и b_n имеют общий предел.

19.17. Члены двух арифметических прогрессий, имеющих первый член, равный нулю, могут снова образовать арифметическую прогрессию в том и только в том случае, если разность одной прогрессии кратна разности другой прогрессии.

К главе 20

20.1. Воспользоваться оценкой

¹/_{(1 + k})² < ¹/_{(1 + k})k.

20.2. Воспользоваться тем, что

20.4. Умножить правую часть на а − 1 и привести ее к виду

20.5.

Разбить полученную сумму на три алгебраических слагаемых: 2n, произведение n на сумму чисел от 1 до n − 1 и сумму квадратов этих же чисел.

20.6. Бесконечная геометрическая прогрессия имеет сумму, если она бесконечно убывающая, т. е. |2x| < 1.

20.8. Рассмотреть разность S_n − S_nx², в которой выделить геометрическую прогрессию.

20.9. Полученные равенства сложить и воспользоваться известными формулами для S_n, S_n², S_n³. 

20.10. Подсчитайте число четных (нечетных) членов, стоящих до n-й группы.

20.11. Каждое слагаемое после домножения на 2 sin ^π/_2n представить в виде разности косинусов.

20.12. Нетрудно заметить, что ряд 2S отличается от ряда S на величину, которая легко может быть сосчитана.

20.13. Запишем два соседних члена ряда:  Если первый член разделить на 2 и вычесть из второго, получим  Это должно подсказать соответствующую процедуру с рядами. Только не забудьте предварительно обозначить искомую сумму через S.

К главе 21

21.1. Так как сосед справа и сосед слева неразличимы, то можно любого из сидящих оставить на месте, а остальных попросить пересесть на место, симметричное относительно того, кто остался на своем месте.

21.2. Обратить внимание на то, что, вычитая перестановки, в которых на первом месте стоит элемент а₁, и перестановки, в которых на втором месте стоит элемент а₂, мы некоторые перестановки вычтем дважды.

21.3. Поскольку в нашем распоряжении имеются семь разрядов, то выбрать места для трех двоек можно  способами.

21.4. Число не может начинаться с цифры 0. На сколько больше чисел мы получим, если не учтем это обстоятельство?

21.5. Экскурсантов для заселения первой каюты можно выбрать  способами, вторую каюту нужно заселить четырьмя из оставшихся и т. д.

21.6. Доказать, что .

21.7. После упрощений мы придем к квадратному уравнению относительно n и k, которое нужно решить в целых числах. Удобнее решать это уравнение относительно k.

21.8. Все получившиеся после раскрытия скобок члены не будут подобными. Остается сосчитать их число.

21.9. Если n — 1 < k ≤ 2(n — 1), то члены, содержащие x^k, могут быть получены лишь в результате перемножения членов суммы x^k −n + 1 + ... + ... + xⁿ — 1.

21.10. Мы приходим к неравенству , решить которое можно, придавая различные значения параметру k. B качестве таких значений удобно выбрать номера двух членов разложения, стоящих рядом с десятым членом.

21.11. Наиболее удобной является группировка

После того как мы применим формулу бинома и к (1 + x²)^k, получим, что в общем члене содержится x^{100 − (5k} − 2m). Остается выяснить, принимает ли 5k − 2m все значения от 0 до 100, и если не все, то сколько значений окажутся пропущенными. Следует иметь в виду, что m, k = 0, 1, ..., 20, но m ≤ k.